这是“等边三角形外接圆上一点到相邻两个定点的距离的和等于该点到第三个顶点的距离”的一个变形。

用三角法的话，倒是相当的简单。下面这道题和顶楼的有点像，可以试试。

设AA',BB',CC'交于点O，AA''+BB''=CC''=OA''-OA+OB''-OB+OC''-OC,AA'=OA+OB+OC,原式等价于OA''+OB''+OC''=2(OA+OB+OC)=OA'+OB'+OC',即于OA''+OB''+OC''=OA'+OB'+OC'

想到这样一个做法：设O在BG，CE,DF上的垂足为X,Y,Z.,则O,X,Y,Z,A共圆且△XYZ为等边三角形。
(AB-AG)+(AC-AE)+(AD-AF)=2AX-2AY-2AZ=0即可。
这样的证明你应该能接受吧。

搬来雨神的证明

其实就是类似圆系的费马点吧

感谢@Thufox07提供思路，初中方法较为不错的证法。

4楼dracochen的题目：

如图
作△A"B'K外接圆交C'C''于点D
作△A'C"K外接圆交B'B''于点E
显然
△A''DB', △A'EC"为等边三角形
△B'CD≌△B'AA", △A'BE≌△A'CC"
故
C'D=CC'-CD
=KA+KB+KC-AA"
B"E=BB"+BE
=BB"+CC"
我们证明C'D=B"E即可
注意
△A"C’D≌△A"B"C", 有C'D/B"C"=A"D/A"C"=A"B'/A"C"
△A'B"E≌△A'B'C', 有B'E/C'B'=A'B"/A'C'
故
C'D/B'E=B"C"/C'B'×A"B'/A'B"×A'C'/A"C"
=KB"/KC'×KA"/KB"×KC'/KA"
=1
即
C'D=B"E