伟大的定理：求新月形面积
新月形是一种边缘为两个圆弧的平面图形——即月牙形。希波克拉底并没有作出所有新月形的等面积正方形，而只求出了一种他所精心构造的特定新月形的面积。（犹如“后记”中所述，这种区别似乎造成了后人对希腊几何的误解。）希波克拉底的论证是建立在三个初步公理之上的：
■ 勾股定理
■ 半圆上的圆周角是直角
■ 两个圆形或半圆形面积之比等于其直径的平方比。
前两个公理在希波克拉底之前很久便已为人所知。而最后一个命题却十分复杂。两个圆形或半圆形面积之比是基于以其直径为边长所作的两个正方形面积之比的（见图1.14）。例如，如果一个半圆的直径是另一个半圆的5倍，则第一个半圆的面积是第二个半圆面积的25倍。然而，这一命题却给数学史家提出了一个问题，因为人们普遍怀疑希波克拉底是否确曾对此作出过正确的证明。他尽可认为他能够证明这一命题，但现代学者普遍认为，这一定理（后来被列入欧几里得《原本》第七篇的第二命题）所提出的逻辑难题远不是希波克拉底所能够解决的。（这一定理的求导过程见第四章。）
我们暂且抛开这个问题不谈，先来看一看希波克拉底的证明。首先，
AB，且与半圆相交于C，并连接AC与BC。平分AC于D，然后，以D为圆心，以AD为半径作半圆AEC，这样，就形成了新月形AECF，如图中阴影部分所示。
希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先，他必须证实所论证的新月形与图中阴影部分的△AOC面积完全相等。这样，他就可以应用已知的三角形能表示为等价平方的公理来断定新月形也可用等价平方表示。这一经典论证的详细过程如下：
定理：新月形AECF可用等价平方表示。
证明；由于∠ACB内接于半圆，所以，∠ACB是直角。根据“边角边”
勾股定理，就得到
因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，所以，我们可以应用上述第三条原理，即得到
也就是说，半圆AEC的面积是半圆ACB面积的一半。
我们现在来看扇形AFCO（“扇形”是圆的四分之一）。显然，这一扇形也是半圆ACB面积的一半，据此，我们可直接得出
面积（半圆AEC）=面积（扇形AFCO）
最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD，如图1.16所示，即
面积（半圆AEC）—面积（AFCD部分）
=面积（扇形AFCO）—面积（AFCD部分）
我们从图中可以很快看出，剩下的部分就是
面积（新月形AECF）=面积（△ACO）
我们已知，我们可以作一个正方形，使其面积等于三角形ACO，因而也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题。 证讫。
这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯（公元410—485年）以他五世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面积正方形，并在几何学中做出过许多其他发现，是一位作图的天才，如果曾经有过这种天才的话。”
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BaiDulYao
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■ 勾股定理
■ 半圆上的圆周角是直角
■ 两个圆形或半圆形面积之比等于其直径的平方比。
前两个公理在希波克拉底之前很久便已为人所知。而最后一个命题却十分复杂。两个圆形或半圆形面积之比是基于以其直径为边长所作的两个正方形面积之比的（见图1.14）。例如，如果一个半圆的直径是另一个半圆的5倍，则第一个半圆的面积是第二个半圆面积的25倍。然而，这一命题却给数学史家提出了一个问题，因为人们普遍怀疑希波克拉底是否确曾对此作出过正确的证明。他尽可认为他能够证明这一命题，但现代学者普遍认为，这一定理（后来被列入欧几里得《原本》第七篇的第二命题）所提出的逻辑难题远不是希波克拉底所能够解决的。（这一定理的求导过程见第四章。）
我们暂且抛开这个问题不谈，先来看一看希波克拉底的证明。首先，
AB，且与半圆相交于C，并连接AC与BC。平分AC于D，然后，以D为圆心，以AD为半径作半圆AEC，这样，就形成了新月形AECF，如图中阴影部分所示。
希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先，他必须证实所论证的新月形与图中阴影部分的△AOC面积完全相等。这样，他就可以应用已知的三角形能表示为等价平方的公理来断定新月形也可用等价平方表示。这一经典论证的详细过程如下：
定理：新月形AECF可用等价平方表示。
证明；由于∠ACB内接于半圆，所以，∠ACB是直角。根据“边角边”
勾股定理，就得到
因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，所以，我们可以应用上述第三条原理，即得到
也就是说，半圆AEC的面积是半圆ACB面积的一半。
我们现在来看扇形AFCO（“扇形”是圆的四分之一）。显然，这一扇形也是半圆ACB面积的一半，据此，我们可直接得出
面积（半圆AEC）=面积（扇形AFCO）
最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD，如图1.16所示，即
面积（半圆AEC）—面积（AFCD部分）
=面积（扇形AFCO）—面积（AFCD部分）
我们从图中可以很快看出，剩下的部分就是
面积（新月形AECF）=面积（△ACO）
我们已知，我们可以作一个正方形，使其面积等于三角形ACO，因而也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题。 证讫。
这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯（公元410—485年）以他五世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面积正方形，并在几何学中做出过许多其他发现，是一位作图的天才，如果曾经有过这种天才的话。”
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