求教关于如何用数学归纳法找加强命题证明数列

在贴吧看到很多大神说有用 定积分 用中值定理，能不能给个具体例子?
比如如图所示的这个数列，如何求他的加强命题？
有的题目裂项放缩可以做出来，但是不通用啊 ，经常想不到怎么缩放，所以求解。谢谢各位大神！