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成也数学，败也数学。数学、确实是不少高三考生心口的痛。如何提高数学复习的针对性和实效性?下面分享：高中函数值域的12种求法，供各位参考。
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3 √(2-3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
故3 √(2-3x)≥3。
∴函数的知域为.
点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x 1)/(x 2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x 1)/(x 2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x 10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)

三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(-x2 x 2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由-x2 x 2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2 x 2=-(x-1/2)2 9/4∈[0，9/4]
∴0≤√-x2 x 2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x-5 √15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

五.最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2 x 1)≤0,且满足x y=1,求函数z=xy 3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2 x 1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x y=1，将y=1-x代入z=xy 3x中，得z=-x2 4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2 4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2 3x-5的值域为 ()
A.(-∞， ∞)B.[-7， ∞]C.[0， ∞)D.[-5， ∞)
(答案：D)。

七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x) g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x) g(x)= 4x-√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3) g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3 √4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)

八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3 √2x 1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x 1 (t≥0),则
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3 t=1/2(t 1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝

十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2 y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3 4k,y=1 3k,
∴z=x2 y2=(3 4k)2 (14 3k)2=(5k 3)2 1。
当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2 y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3 4k,y=1 3k,
∴z=x2 y2=(3 4k)2 (14 3k)2=(5k 3)2 1。
当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)

十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x 2)/(x 1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x 2)/(x 1)=3-1/(x 1)。
∵1/(x 1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax b)/(cx d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)