好深奥的样子，帮楼主顶起

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假设不连续必定存在第一类间断点，左右极限存在，设x0为其中一个间断点。取条件中三种特殊情况的不等式求极限：①x=x0，y=x0-△x，△x→0+（f(x0-)≤f(x0)）；②x=x0，y=x0+△x，△x→0+（f(x0+)≤f(x0)）；③x=x0-△x，y=x0+△x，△x→0+（2f(x0)≤f(x0-)+f(x0+)），由①+②及③，有f(x0-)+f(x0+)≤2f(x0)≤f(x0-)+f(x0+)，所以①、②及③3个等号成立，此时 f(x)在x0处连续，假设不成立。

凸函数都是连续的

个人意见
取某个第一类间断点x
由已知：f(x+)和f(x-)都存在 设f(x+)=A f(x-)=B
2f(x)≤f(x+1/n)+f(x-1/n)对任意n恒成立 两边取极限可以得f(x)≤(A+B)/2
同时f(x)≥2f((x+x-1/n)/2) -f(x-1/n)对任意n恒成立 两边取极限得f(x)≥B
同理可证f(x)≥A
于是有:A≤f(x)≤(A+B)/2 B≤f(x)≤(A+B)/2 则f(x)=A=B

这是，高中数学？

微积分前面第几章来着

前几年的试题，数学归纳法

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第八题就是凹凸函数啊

这个题好像关于凹凸函数的内容，表示很久违翻课本，忘了