原题：

源自@依旧在雨中等你

个人认为，上题应加一个条件：
B在劣弧AF上.
以下是个人想法.
1. EF是圆 O1 直径, A是圆 O1 上一点, C是 O1F上一点, 且
角ACE <90度.
过A, O1, C作圆 O2 交圆O1 于点B.
问：角BCF 是否等于 角ACE ？

这是个大陈题……当然了，你说的有道理

推广到三维欧氏空间.
2. EF是球O直径, A,B是球O上两点, 且E,A,B,F在同一半球内.
C是OF上一点, 且角ACE=角BCF <90度.
问: A,O,C,B 是否四点共球 ?
3. EF是球 O1 直径, A是球 O1 上一点, C是 O1F上一点, 且
角ACE <90度.
过A, O1, C作球 O2 交球O1 于点B.
问：角BCF 是否等于 角ACE ？

卧槽

4. 已知 O1 是圆 O2 上的一点, 且圆O1与圆O2交于点A,B.
过O1任意作一条直线, 交圆 O1 于点E,F, 交圆 O2 于点C.
连接AC,BC.
问：角BCF 是否等于 角ACE ？
其中两种图形:

将原题稍微推广一下.
5. 设某直线与圆O交于A,D且不过圆心, C是直线AD上任一点.
过OC作直线, B是圆O上的一点.
证明或证否:
B与D关于直线OC对称 <=> A,O,C,B四点共圆.
其中两种形态:

原来不在同一直线上的四点还可以不共球
　　 　----萌萌哒馒糕说

“定性”没希望。
那就来个“定量”吧！
图如10楼, 设圆O半径为R, 则过A,O,C的圆半径为
R/(2*sin(角ACO)).
这是用几何画板得到的, 未经证明.