首先 我先明确一个基本常识，实数由有理数和无理数组成。无理数就是无限不循环小数。有理数包括整数、有限小数、无限循环小数。并且所有有理数都可以化为分数形式，举例2=2/1, 0.8=4/5 , 0.3333(循环)=1/3
如果您没学过高数请看如下证明：
证法1 0.9循环=0.3循环+0.6循环
并且0.3循环等于三分之一 ,0.6循环等于三分之二, 三分之一+三分之二等于1 命题证毕
证法2 设A=0.9循环 那么10A=9.999循环 两式相减得出：9A=9 所以A=1
命题证毕
补充说明：任何一个无限循环小数都可以化为分数形式
0.1循环=1/9
0.2循环=2/9
0.3循环=3/9
……
0.8循环=8/9
那么0.9循环=9/9=1
注意以上都是等号 不是约等于！！！
如果您数学功底比较深请继续阅读
其实以上的证法都是不严谨的 甚至可以说是错误的 但是错误原因一般人都说错了
我在此向你们指出哪块是错误的 我尽量用通俗的语言说明：
首先 我们要明确一个无穷的概念 无穷大是永远无可企及无可到达的地方
我们可以得出0.9=0.3+0.6
即验证一次9=3+6
下面用数学归纳法：
0.99=0.33+0.66即验证二次9=3+6
0.9999（k个9）=0.3333…3+0.666…6（k个3与6）验证k次9=3+6
0.9999（任意数量的9）=0.3333+0.666（任意数量的3与6）
但是我们不能得出0.9循环=0.3循环+0.6循环 原因很简单
我们无法一位一位的去验证！！因为我们只能重复任意多次9=3+6 而无法重复无穷次9=3+6！虽然对于每一个小数位 都是9=3+6！但是数学讲究严谨 不能有任何漏洞！所以这证法1是不正确的 同理证法2也是不严谨的 因为我们无法得出9.9循环-0.9循环=9！
注意：9.9循环-0.9循环=9与0.9循环=0.3循环+0.6循环虽然是真命题 但是我们的证法是去一位一位的计算它 所以过程有漏洞
通俗点说 就是计算没法完成 因为小数位数是无穷的！
下面给出一个一般的证法
对于一个数列{an}0.9
0.99 0.999….0.9循环
我们可以得出来一个通项1-1/10的n次方
0.9循环即当n趋向于无穷时 an的值
当n趋向于无穷时Lim an=1！注意是等号而不是约等于
所以0.9循环等于1
这里用到了当n趋向无穷时lim1/10的n次方=0！
如果学过数论和实变函数 那么我们知道：有理数和无理数在实数上稠密 换句话说两个无理数之间必然存在着有理数、两个有理数之间必然存在着无理数！ 如果你们的理论1大于0.9循环成立 那么1与0.9循环必然是两个数 1是有理数 0.9循环是无限循环小数也是有理数 那么请你给出这两个数之间的无理数！显然给不出 你甚至不能给出一个大于0.9循环又小于1的数 所以0.9循环等于1
证法3 假设1大于0.9循环成立 那么必然存在一个数a 使得0.9循环<a<1 但是a不存在 所以假设不成立
证法4假设1大于0.9循环成立 那么必有一个数a 令a=1-0.9循环， a不存在 所以假设不成立
这里有些吧友死脑筋 会说什么1-0.9循环=0.000（无穷个0）1 首先 我再说一遍 无穷是永远没有尽头 不可能在无穷0后面还会存在1 即循环号之后不会存在任何数字 这是循环的定义 如果你们硬要较真 那么我下面给出证明
假设循环号之后还能存在数字 那么选定0.9循环。0.9循环后面如果还能存在数字 假设为1，取名为0.9循环1（因为我不会打循环号 就是上面有个点）
0.9循环1必然大于0.9循环
0.9循环2必然大于0.9循环1
…
0.9循环8必然大于0.9循环7
0.9循环9必然大于0.9循环8！
即0.9循环9必然大于0.9循环1
但是0.9循环9就是0.9循环啊！按照第一条 它又小于0.9循环1
矛盾 所以循环号后面不会存在任何数字
下面驳斥错误观点
1/3约等于0.3循环 而不是等于
建议你回去好好看看书 ，小学书应该都讲过 ，如果真是约等于， 那么0.3循环化成分数是什么样子的？
如果您没学过高数请看如下证明：
证法1 0.9循环=0.3循环+0.6循环
并且0.3循环等于三分之一 ,0.6循环等于三分之二, 三分之一+三分之二等于1 命题证毕
证法2 设A=0.9循环 那么10A=9.999循环 两式相减得出：9A=9 所以A=1
命题证毕
补充说明：任何一个无限循环小数都可以化为分数形式
0.1循环=1/9
0.2循环=2/9
0.3循环=3/9
……
0.8循环=8/9
那么0.9循环=9/9=1
注意以上都是等号 不是约等于！！！
如果您数学功底比较深请继续阅读
其实以上的证法都是不严谨的 甚至可以说是错误的 但是错误原因一般人都说错了
我在此向你们指出哪块是错误的 我尽量用通俗的语言说明：
首先 我们要明确一个无穷的概念 无穷大是永远无可企及无可到达的地方
我们可以得出0.9=0.3+0.6
即验证一次9=3+6
下面用数学归纳法：
0.99=0.33+0.66即验证二次9=3+6
0.9999（k个9）=0.3333…3+0.666…6（k个3与6）验证k次9=3+6
0.9999（任意数量的9）=0.3333+0.666（任意数量的3与6）
但是我们不能得出0.9循环=0.3循环+0.6循环 原因很简单
我们无法一位一位的去验证！！因为我们只能重复任意多次9=3+6 而无法重复无穷次9=3+6！虽然对于每一个小数位 都是9=3+6！但是数学讲究严谨 不能有任何漏洞！所以这证法1是不正确的 同理证法2也是不严谨的 因为我们无法得出9.9循环-0.9循环=9！
注意：9.9循环-0.9循环=9与0.9循环=0.3循环+0.6循环虽然是真命题 但是我们的证法是去一位一位的计算它 所以过程有漏洞
通俗点说 就是计算没法完成 因为小数位数是无穷的！
下面给出一个一般的证法
对于一个数列{an}0.9
0.99 0.999….0.9循环
我们可以得出来一个通项1-1/10的n次方
0.9循环即当n趋向于无穷时 an的值
当n趋向于无穷时Lim an=1！注意是等号而不是约等于
所以0.9循环等于1
这里用到了当n趋向无穷时lim1/10的n次方=0！
如果学过数论和实变函数 那么我们知道：有理数和无理数在实数上稠密 换句话说两个无理数之间必然存在着有理数、两个有理数之间必然存在着无理数！ 如果你们的理论1大于0.9循环成立 那么1与0.9循环必然是两个数 1是有理数 0.9循环是无限循环小数也是有理数 那么请你给出这两个数之间的无理数！显然给不出 你甚至不能给出一个大于0.9循环又小于1的数 所以0.9循环等于1
证法3 假设1大于0.9循环成立 那么必然存在一个数a 使得0.9循环<a<1 但是a不存在 所以假设不成立
证法4假设1大于0.9循环成立 那么必有一个数a 令a=1-0.9循环， a不存在 所以假设不成立
这里有些吧友死脑筋 会说什么1-0.9循环=0.000（无穷个0）1 首先 我再说一遍 无穷是永远没有尽头 不可能在无穷0后面还会存在1 即循环号之后不会存在任何数字 这是循环的定义 如果你们硬要较真 那么我下面给出证明
假设循环号之后还能存在数字 那么选定0.9循环。0.9循环后面如果还能存在数字 假设为1，取名为0.9循环1（因为我不会打循环号 就是上面有个点）
0.9循环1必然大于0.9循环
0.9循环2必然大于0.9循环1
…
0.9循环8必然大于0.9循环7
0.9循环9必然大于0.9循环8！
即0.9循环9必然大于0.9循环1
但是0.9循环9就是0.9循环啊！按照第一条 它又小于0.9循环1
矛盾 所以循环号后面不会存在任何数字
下面驳斥错误观点
1/3约等于0.3循环 而不是等于
建议你回去好好看看书 ，小学书应该都讲过 ，如果真是约等于， 那么0.3循环化成分数是什么样子的？
