【原创】出一道导数题

第一问这么证明
f(x)=x1nx-ax+x/e^x
a=1时，f'(x)=1nx+(1-x)/e^x，f''(x)=1/x+(x-2)/e^x=[e^x+x(x-2)]/(x·e^x)
当x>0时e^x>x+1,所以当x>0时，e^x+x(x-2)>x²-x+1>0
所以f''(x)>0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增
又f'(1)=0,所以当0<x<1时，f'(x)<0;当x>1时，f'(x)>0
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+ ∞)上单调递增。

第二问分离参数
得到a<1nx+1/e^x+(2-4/e²)/x
令g(x)=1nx+1/e^x+(2-4/e²)/x
则g'(x)=[(x-2+4/e²)e^x-x²]/(x²e^x)
令h(x)=(x-2+4/e²)e^x-x²(x>0),则h'(x)=(x-1+4/e²)e^x-2x
h''(x)=e^x(x+4/e²)-2,h'''(x)=e^x(x+1+4/e²)>0
所以h''(x)在(0,+∞)单调递增，又h''(0)<0,h''(1)>0
所以h''(x)在(0,1)上有唯一零点，记为x₀,
所以当x>x₀时，h''(x)>0;当x<x₀时，h''(x)<0
所以h‘(x)在(0,x₀)上单调递减，在(x₀,+∞)上单调递增
所以h'(x)有最小值h'(x₀),
又h'(0)<0,h'(2)=0
所以当0<x<2时，h'(x)<0;当x>2时h'(x)>0
所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增
所以g(x)有最小值g(2)=1n2+1-(1/e²)
所以a<1n2+1-(1/e²)