此题已证出

造福后来人.

@Hhyhovel 证明思路是这样的。
设x＝LIMx_n，可以得到存在N，当n＞N,｜xn－xN｜＜½,即xN－½＜xn＜xN＋½.
由于xN－½是比例数，可以证明存在唯一整数M,使得
M≤xN－½＜M＋1≤xN＋½＜M＋2,
接着证明要么M≤x<M＋1,要么M＋1≤x<M＋2,要么x＝M＋2.

提供另一种思路。
第一步：证明存在性
(1)可以找到整数 L 和整数 U 满足：L<x<U （借助 Proposition 5.4.12 以及 Proposition 4.4.1 ）
(2)假设：如果 L≤M 且 M≤x ，则 M+1≤x
运用强归纳法（ Proposition 2.2.14 ）可以得到：U≤x (或者 对所有 L≤N ，N≤x ）
与 x<U 矛盾，因此必有一个整数 K 满足 L≤K，且 K≤x<K+1
第二步：唯一性。省略。