素数何时成双对
可以说，素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整数，除了1和它本身之外，不是任何数的倍数，那么它就是一个素数。比如说，6不是一个素数，除了1和它本身以外，它还是2和3的倍数；而5则是一个素数。
在古希腊，人们已经有了素数的概念，对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中，第七、八、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”，实际上也就是数论。在这几卷中，欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”：将自然数分解成素数乘积的方法是唯一的。也就是说，如果用乘法的眼光来看自然数，那么素数就是自然数的最小组成单元。它们不能被分解成更小的数的乘积，而所有自然数都可以分解成它们的乘积。
那么，我们自然要问：素数作为自然数的组成单元，它们有多少个？
有无限个，欧几里德不仅回答了这个问题，还给出了一个经典的证明。
不妨反设只有有限个素数，考虑它们的积N，它是一个有限的自然数。所以，N+1也是一个自然数，它也应该是一些素数的积。但根据假设，每一个素数都不整除N+1，这不可能！所以，素数必定有无限个。
这个精巧的证明，是人类探寻素数奥秘的第一步。
2、3、5、7、11、13……最初的几个素数，要找出来并不困难，但随着数字增大，如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数，工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼，给出了一个比较省力的算法，后人称之为埃拉托色尼筛法。
首先，列出从2开始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去所有2的倍数。根据定义，剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上，再划去所有它的倍数，这样又会剩下一些数，取其中最小的，如此反复操作。最后剩下的都是素数。

当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时，他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元，在自然数中的排列却毫无规律，时而靠近，时而疏远。用类似欧几里德证明中的构造，我们知道，两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而随着数目越来越大，相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。
在无限延伸的自然数集中，向无穷的地平线望去，虽然仍有无穷的素数，但它们似乎也愈变孤独。
这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴，年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想：在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说，相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比，虽然增长很慢，但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯，也无法严格地证明他的猜想，要等两个世纪后的阿达玛（J. Hadamard）和德拉瓦莱普森（C. J. de la Vallée-Poussin），才能将这个猜想变成现在的“素数定理”。
虽然如此，偶尔也会有成对出现的素数，它们之间只相差2。像这样成对出现的素数，在那些孤独的同伴看来，无疑是异类。
它们被称为孪生素数。

孪生素数的难点在于，它是一个关于素数的具体分布的问题，而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布，而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星，素数点缀着自然数的夜空，放眼望去，它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗，即使用上最好的望远镜，也无可奈何。
所以，在很长一段时间里，对于孪生素数猜想，人们仍然停留在揣测和估计的层面。
首先尝试直接猜测的，是英国数学家哈代（G. H. Hardy）和李特尔伍德（J. E. Littlewood），他们在1923年开始了一系列的猜测。
素数定理告诉我们，对于足够大的自然数N，在N附近随机抽取一个自然数n，它是素数的概率大概就是(lnN)−1。那么，在同样的区间，随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方，也就是(lnN)−2。
那么，在N附近随机抽取一个自然数n，n和n+2是一对孪生素数的概率是否就是大概(lnN)−2呢？很遗憾，并非如此，因为n和n+2并非完全独立的，所以不能直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远，只要乘上一个修正系数，借此表达两个数相差2的性质，就能得到对孪生素数密度的估计：2C2(lnN)−2。在这里，修正系数C2是一个关于所有质数的无穷乘积。如果密度确实如此，那么显然有无限对孪生素数，孪生素数猜想应该是正确的。
实际上，这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况，难度甚至远高于孪生素数猜想：它不仅隐含了孪生素数猜想，而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人，但它并不是一个严谨的证明，因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律，远远不是一句“随机分布”所能概括的。
但哈代和李特尔伍德并非等闲之辈，作为当时英国的学科带头人，既然提出这个猜想，当然经过了深思熟虑。现在看来，依据之一是，望向无限，素数的分布的确看似随机：对于那些“简单”的操作（比如说加上2）来说，数值越大，越靠近无限的地平线，看上去也越“随机”。所以，在考虑各种素数形式的分布时，假定素数按照素数定理的密度随机分布，不失为一个估计的好办法。更为重要的是，数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了我们对这个估计的信心。

然而，猜测只是猜测，不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度，有多符合，对于无限而言，都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。
人们此前猜测，小于某一个数N的素数个数π(N)必定小于所谓的“对数积分”函数li(N)，而根据素数表，这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论：对于足够大的N，不仅π(N)可以大于li(N)，而且它们的大小关系会无穷次地逆转！但直到今天，对于第一次打破这个规律的N，我们仍然不知道它的具体数值，只知道它大概是个有三百多位的数。
这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料，同时提醒我们，面对无限，不能掉以轻心。无论有多少计算的证据，都不能轻易下定论。征服无限的工具，只有严谨的数学证明。

楼主又忘记吃药了这可怎么办！