说第三大题不能用微分方程证的进来

关于这题，我想了很久，我不否认归纳法是一个很好的证明方法，但有人说微分方程不可行，是由于解的形式的被默认为e^x形式了，那么，有谁可以找出一个在一个连续的闭区间内，满足此方程，而又是不含e^x的函数吗，或者可以给出一个更具有说服力的证明吗。而且关于常系数线性齐次微分方程的可解性，也并没有无穷阶导这么苛刻的条件限制吧。特征根法只是此类型微分方程的一种解法，除此之外，也可以有拉氏变换等其他解法，殊途同归，解的形式终究含有e^x。