1990USMO
在三角形ABC中,以AB,AC为直径向外作圆,BB',CC'为高,分别交两圆于P,S,R,Q,求证P,S,R,Q这四点共圆
证明:只需证RK*SK=PK*KQ,即(RC'-KC')*(RC'+KC')=(PB'-KB')(PB'+KB'),即RC'^2-KC'^2=PB'^2-KB'^2
又B,C,B',C'四点共圆,由射影定理得,AC'*AB=AR^2=AP^2=AB'*AC
所以AC'^2+C'R^2=AB'^2+PB'^2=RC'^2+AK^2-KC'^2=PB'^2+AK^2-KB'^2
由此证明了RC'^2-KC'^2=PB'^2-KB'^2,所以P,S,R,Q四点共圆
在三角形ABC中,以AB,AC为直径向外作圆,BB',CC'为高,分别交两圆于P,S,R,Q,求证P,S,R,Q这四点共圆
证明:只需证RK*SK=PK*KQ,即(RC'-KC')*(RC'+KC')=(PB'-KB')(PB'+KB'),即RC'^2-KC'^2=PB'^2-KB'^2
又B,C,B',C'四点共圆,由射影定理得,AC'*AB=AR^2=AP^2=AB'*AC
所以AC'^2+C'R^2=AB'^2+PB'^2=RC'^2+AK^2-KC'^2=PB'^2+AK^2-KB'^2
由此证明了RC'^2-KC'^2=PB'^2-KB'^2,所以P,S,R,Q四点共圆
