最精确素数定理的发现及证明
山东章丘一职专马国梁
大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。所以至今竟使不少人怀疑中轴线的存在，更谈不上写出它的方程。
笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。素数本身是没有规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。所以要想弄清它的根本原因，我们必须从素数的产生机制上着手，才能有所突破。幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。虽然研究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。整个过程一波三折，思想左右摇摆。因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。如果它根本就不存在，那笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。下面笔者就将自己的研究结果做如下介绍。
我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。其实这个方法不光适用整个自然数轴，它也适用于局部范围。所以在任一素数Pi之后的一段长度里（Pi+1 - Pi），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。
当然这种筛选我们没有必要用上Pi之前所有的素数，而是只用sqrt(Pi) 前面的所有素数就可以了。其中最大的素数为Pr
Pr ≈ sqrt(Pi)
这样当 [Pi+1 - Pi][1/2] [2/3] [4/5] …… [(Pr – 1)/Pr ] = 1 时
将会有 Pi+1 = Pi + [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr -1) ]
其中从2开始到Pr 的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小为
ΔPr = [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr -1) ]
= ΔPr -1[Pr /(Pr – 1) ]
将素数间距改写成连续的方程 yr = yr -1[xr/(xr –1)]
那么其平均导数是 dy/dx = (yr /yr-1) -1 = 1/(xr –1)] = 1/(x –1)
从而得 dy= dx/(x –1)
将两边积分得 y = ln(x-1) + C
当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。
并且当x很大时，x – 1 项中的1可以略去，因而得
y = ln(x)
yr = ln(xr)
可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到Pr /( Pr- 1) 连乘积，所以若算ΔPr必须对其加倍，即
ΔPr = 2yr = 2 ln(xr)≈ ln(Pi)
这个结果早期的理论推导也已经证明。现在大家也都知道：当x → ∞时，素数的间距确实是趋于ln(Pi) .由此得素数系列的递推式是
Pi+1 = Pi + ln(Pi) 其中P1 = 2
我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。但是在P ～ i 坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。所以同样的P值，黎曼曲线将需要更大的序号。这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(Pi) 的，原先的素数定理是不准确的。
那么究竟应该怎样进行修正呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。在经过一系列失败后，笔者才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。
我们知道：Pi 是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数Pr 肯定小于 sqrt(Pi) .
并且sqrt(Pi) 的位置不是固定不变的，而是随机的。它可能略大于Pr，也可能略小于Pr+1.虽然Pr和Pr+1的平均距离并不大，但是对于Pi 之后的素数增幅却影响很大。
Pi+1的增幅是lnPi ，而Pi 后面最大的增幅则是
ln[(Pr+1)^2] = 2 ln(Pr+1) = 2 ln[sqrt(Pi)+ ln(sqrt(Pi))] ≈ lnPi [1+1/sqrt(Pi)]
前后的平均增幅是lnPi[1+0.5/sqrt(Pi)]
ln(Pi) ＜＜ sqrt(Pi) ＜＜ Pi
就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时，必须采用收尾法乘到Pr+1/(Pr+1 -1) 这一项。从sqrt(Pi) 到Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。这样以来此项筛剩率就变成了
sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) –0.5]
在增加了这一项之后素数定理即变成了
ΔPi = ln(Pi) sqrt(Pi)/[sqrt(Pi)– 0.5] = ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]
这就是迄今为止最为精确的素数定理。
素数的递推式为Pi+1 = Pi+ ln(Pi)/[1– 0.5/sqrt(Pi) ]
实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线，它就是素数的中轴曲线。
由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。
(1) 首先是关于素数的个数，其精确的计算公式应该为
i(x) =∫[1 – 0.5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x) -∫[0.5/ln(sqrt(x))] dsqrt(x)
= li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]
Δi = li(x) - i(x) = 0.5 li[sqrt(x)]
≈ sqrt(x)/(lnx – 2) ≈ sqrt(x)/lnx
据美国学者阿尔伯特·H·贝勒在《数论妙趣——数学女王的盛情款待》一书中介绍，x值在900万之前，素数的中轴线与真实线相交“不少于19次”。另外根据四川熊一兵先生在《概率素数论》一书中的资料，可知在x等于10^22之前，真实的素数线一直在中轴线上下穿越；因此可以相信，我们的中轴线确实是一条能够将素数曲线贯穿到底的大曲线。
(2) 再就是关于素数曲线能否和黎曼曲线相交的问题。
由于 Δi = sqrt(x)/lnx → ∞
所以我们知道：中轴曲线和黎曼曲线已经没有可能趋于平行，且更谈不上相交了。它们的纵向距离是
Δx = lnx Δi = sqrt(x) → ∞
但是真实的素数曲线却是没有规则的，它在中轴线的左右摇摆不定。按照二项式分布的规律，由摆动所引起的序号之差是与序号的平方根成正比的。所以即使是只取它的一半，也总是大于主轴曲线和黎曼曲线之差的，即
Δi = sqrt(i)/2 ＞ sqrt(x)/lnx = sqrt(i/lnx)
所以素数曲线是肯定能和黎曼曲线相交的。其早期的分离完全是由于当时的“一念之差”，3、5、7、11这个四个素数的增量都偏大了。但其影响却是如此的深远，以至于到现在我们仍然看不到回归的希望。从理论上虽说需要将序号增大到足够的程度才行，但究竟需要多大，我们还根本不知。它超过了目前我们所有的运算能力。
(3) 还有它证明了黎曼猜想是成立的。当α＞ 0 时
因为 li(x)- π(x) ≈ li(x) - i(x) ≈sqrt(x)/lnx
所以 [li(x) - π(x)]/x^(0.5+α) ≈ 1/[(lnx)( x^α)]→ 0
这在数论领域为许多问题的解决奠定了基础。
精确素数定理的发现和证明虽然姗姗来迟，但它也是人类智慧的胜利，在数论的研究史上无疑是一件大事。它不仅能够一举解决我们过去的许多困惑，而且对未来的研究也有着重大的指导意义。
漫长的黑夜终于过去，我们迎来了久违的黎明。我们相信：新的一天肯定会更美好。
山东章丘一职专马国梁
大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。所以至今竟使不少人怀疑中轴线的存在，更谈不上写出它的方程。
笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。素数本身是没有规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。所以要想弄清它的根本原因，我们必须从素数的产生机制上着手，才能有所突破。幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。虽然研究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。整个过程一波三折，思想左右摇摆。因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。如果它根本就不存在，那笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。下面笔者就将自己的研究结果做如下介绍。
我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。其实这个方法不光适用整个自然数轴，它也适用于局部范围。所以在任一素数Pi之后的一段长度里（Pi+1 - Pi），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。
当然这种筛选我们没有必要用上Pi之前所有的素数，而是只用sqrt(Pi) 前面的所有素数就可以了。其中最大的素数为Pr
Pr ≈ sqrt(Pi)
这样当 [Pi+1 - Pi][1/2] [2/3] [4/5] …… [(Pr – 1)/Pr ] = 1 时
将会有 Pi+1 = Pi + [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr -1) ]
其中从2开始到Pr 的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小为
ΔPr = [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr -1) ]
= ΔPr -1[Pr /(Pr – 1) ]
将素数间距改写成连续的方程 yr = yr -1[xr/(xr –1)]
那么其平均导数是 dy/dx = (yr /yr-1) -1 = 1/(xr –1)] = 1/(x –1)
从而得 dy= dx/(x –1)
将两边积分得 y = ln(x-1) + C
当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。
并且当x很大时，x – 1 项中的1可以略去，因而得
y = ln(x)
yr = ln(xr)
可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到Pr /( Pr- 1) 连乘积，所以若算ΔPr必须对其加倍，即
ΔPr = 2yr = 2 ln(xr)≈ ln(Pi)
这个结果早期的理论推导也已经证明。现在大家也都知道：当x → ∞时，素数的间距确实是趋于ln(Pi) .由此得素数系列的递推式是
Pi+1 = Pi + ln(Pi) 其中P1 = 2
我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。但是在P ～ i 坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。所以同样的P值，黎曼曲线将需要更大的序号。这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(Pi) 的，原先的素数定理是不准确的。
那么究竟应该怎样进行修正呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。在经过一系列失败后，笔者才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。
我们知道：Pi 是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数Pr 肯定小于 sqrt(Pi) .
并且sqrt(Pi) 的位置不是固定不变的，而是随机的。它可能略大于Pr，也可能略小于Pr+1.虽然Pr和Pr+1的平均距离并不大，但是对于Pi 之后的素数增幅却影响很大。
Pi+1的增幅是lnPi ，而Pi 后面最大的增幅则是
ln[(Pr+1)^2] = 2 ln(Pr+1) = 2 ln[sqrt(Pi)+ ln(sqrt(Pi))] ≈ lnPi [1+1/sqrt(Pi)]
前后的平均增幅是lnPi[1+0.5/sqrt(Pi)]
ln(Pi) ＜＜ sqrt(Pi) ＜＜ Pi
就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时，必须采用收尾法乘到Pr+1/(Pr+1 -1) 这一项。从sqrt(Pi) 到Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。这样以来此项筛剩率就变成了
sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) –0.5]
在增加了这一项之后素数定理即变成了
ΔPi = ln(Pi) sqrt(Pi)/[sqrt(Pi)– 0.5] = ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]
这就是迄今为止最为精确的素数定理。
素数的递推式为Pi+1 = Pi+ ln(Pi)/[1– 0.5/sqrt(Pi) ]
实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线，它就是素数的中轴曲线。
由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。
(1) 首先是关于素数的个数，其精确的计算公式应该为
i(x) =∫[1 – 0.5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x) -∫[0.5/ln(sqrt(x))] dsqrt(x)
= li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]
Δi = li(x) - i(x) = 0.5 li[sqrt(x)]
≈ sqrt(x)/(lnx – 2) ≈ sqrt(x)/lnx
据美国学者阿尔伯特·H·贝勒在《数论妙趣——数学女王的盛情款待》一书中介绍，x值在900万之前，素数的中轴线与真实线相交“不少于19次”。另外根据四川熊一兵先生在《概率素数论》一书中的资料，可知在x等于10^22之前，真实的素数线一直在中轴线上下穿越；因此可以相信，我们的中轴线确实是一条能够将素数曲线贯穿到底的大曲线。
(2) 再就是关于素数曲线能否和黎曼曲线相交的问题。
由于 Δi = sqrt(x)/lnx → ∞
所以我们知道：中轴曲线和黎曼曲线已经没有可能趋于平行，且更谈不上相交了。它们的纵向距离是
Δx = lnx Δi = sqrt(x) → ∞
但是真实的素数曲线却是没有规则的，它在中轴线的左右摇摆不定。按照二项式分布的规律，由摆动所引起的序号之差是与序号的平方根成正比的。所以即使是只取它的一半，也总是大于主轴曲线和黎曼曲线之差的，即
Δi = sqrt(i)/2 ＞ sqrt(x)/lnx = sqrt(i/lnx)
所以素数曲线是肯定能和黎曼曲线相交的。其早期的分离完全是由于当时的“一念之差”，3、5、7、11这个四个素数的增量都偏大了。但其影响却是如此的深远，以至于到现在我们仍然看不到回归的希望。从理论上虽说需要将序号增大到足够的程度才行，但究竟需要多大，我们还根本不知。它超过了目前我们所有的运算能力。
(3) 还有它证明了黎曼猜想是成立的。当α＞ 0 时
因为 li(x)- π(x) ≈ li(x) - i(x) ≈sqrt(x)/lnx
所以 [li(x) - π(x)]/x^(0.5+α) ≈ 1/[(lnx)( x^α)]→ 0
这在数论领域为许多问题的解决奠定了基础。
精确素数定理的发现和证明虽然姗姗来迟，但它也是人类智慧的胜利，在数论的研究史上无疑是一件大事。它不仅能够一举解决我们过去的许多困惑，而且对未来的研究也有着重大的指导意义。
漫长的黑夜终于过去，我们迎来了久违的黎明。我们相信：新的一天肯定会更美好。
