（1+x)^n的 展开式中，奇数系数的个数为：2^F(n).
这里函数F(n)表示：把n用二进制表示时数字1的个数。
例如，当n=22时，二进制表示是10110（2），共有3个1，知F（22）=3，
（1+x)^22的展开式中，奇数系数的个数为2^3=8.

用二项式系数含素数p方次的公式，可导出楼主关于（1+x）^n的展开式（其中n为正整数）中不能被p整除的系数个数的结论。
下面说一下（1+x）^n的展开式（其中n为正整数）中，不能被4整除的系数个数问题。
创立一个概念：二进制数的次生数
一个二进制数，如果有几个0连在一起，把连在一起的所有0去掉改成一个0，连在一起的0都这样处理，处理后所得二进制数叫做原二进制数的次生数。
如1111（2）的次生数是本身，1010（2）的次生数也是本身，100010（2）的次生数是1010（2），100100（2）的次生数是1010（2）。
有如下结论：
将正整数n写成二进制数，写出这个二进制数的次生数，次生数中1的个数记为F(n)，0的个数记为f(n)，则（1+x）^n的展开式中，不能被4整除的系数个数为：
2^F(n)* [1+f(n)/2].

例如，当n=50时，n的二进制表示是110010（2），这个二进制数的次生数是 11010（2），F（50）=3，f(50)=2, (1+x)^50的展开式中，不能被4整除的系数共有
2^3*(1+2/2)=16 个.

其它的情形,感觉复杂些,不想再去推导.

对于n与质数p,设基p进制表达式为(a(k)a(k-1)…a(0)),其二项式展开中不被p整除的项数为(1+a(k))(1+a(k-1))…(1+a(0))

我说的是，当q是大于1的非素数时，二项展开式中不能被q整除的系数的个数有些复杂。

能被p^α,α>1，整除的数的个数？

不知道卢卡斯定理的推广是怎样的

用库默儿定理