269-270-271放几个简单的

269 設 O, H 分別是 ABC 的外心, 垂心. BH, CH 分別與 CA, AB 交於 Y, Z. 設 M, U, V 分別是 BC, CA, AB 的中點. 考慮以 A 為中心使得 (B,Z) (C,Y) 互換的反演. 在這個反演下 (ABE) 的像為過 Z 且與 (AYZ) 相切的直線, 所以 (ABE) 的像即為 ZM. 同理, (ACD) 的像為 YM. 設 YM, ZM 分別與 AB, CA 交於 D', E' (D, E 的像) 且 (AD'E') 與 (AYZ) 再交於 F' (F 的像). 由 ZD'/ZV = M(ZU;YV) = YE'/YU 得 F' 在 (AUV) 上, 所以 AF 為 (AUV), (AYZ) 的根軸, 即 AF 垂直 OH.

我曾經以 269 為引理做過一個問題, 看有沒有人要試試 :
設 E, F 分別為 CA, AB 的中點且 D 為 A 到 BC 的垂足. 過 E, F 且與 (AEF) 相切的直線交於 T 並且 DT 與 EF 交於 X. 證明: X 在 GK 上 其中 G 是 ABC 的重心, K 是 ABC 的共軛重心.

这个解答也很好

在《中等数学》里我看到如下一题：
给定三角形ABC, 设垂心和外心分别是O,H, 设BE,CF是两条高, D是直线BC上一点且满足AD垂直OH, 证明：EF平分AD。
事实上这题运用了和香港那题一样的结构性质。
话说我这样算不算挖坟。。。。

我的解法：设A_1,A_2分别是A关于E,F的反射，则显然A_1,A_2都在圆(H,HA)上，进一步的证明A_1,A_2,D三点共线。跟香港那题几乎一样

显然能够证明的结构！！