慢更，别急，明天更第一波

看到镇楼笑了
看到后面的黑板又笑了一次

虎躯一震不能停

如何计算这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利（Pietro Mengoli）提出的，而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题。
他得出著名的结果：
解决这个问题的方法在近代不断涌现。这里我从各处摘抄到一些方法，列举在此，仅供大家参考。
如有错误，请向我指出，谢谢
首先，我们需要知道这个问题的等价形式,将这个数列除以4，我们自然得到

从而我们只需证明

而以下某些证明会用到这一点

证明1：欧拉的证明
欧拉的证明是十分聪明的。他只是将幂级数同有限的多项式联系到了一起，就得到了答案。首先注意到

从而

但是sin(x)/x的根集为
故我们可以假定

（PS：欧拉似乎没有证明这个无穷积，直到100年后魏尔斯特拉斯得到了他著名的“魏尔斯特拉斯分解定理”（Weierstrass factorization theorem，详情可见wiki相应条目）。利用这个方法得到函数时要特别小心，我以前看到的一个反例（http://tieba.baidu.com/p/1083636713）就可以说明这个问题)
从而我们对这个无穷乘积的x^2项进行研究，可以知道

所以
就有了答案

支持益智高冷贴

欧拉真的好会玩

证明3：数学分析的证明
这个证明来自Apostol在1983年的“Mathematical Intelligencer”,只需要简单的高数知识。
注意到恒等式

利用单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem)，立即得到

通过换元(u,v)=((x+y)/2,(y-x)/2)，就有

S为点(0,0),(1/2,-1/2),(1,0),(1/2,1/2)构成的正方形，由正方形对称性有

利用恒等式arctan(u/sqrt(1-u^2))=arcsinu,arctan((1-u)/sqrt(1-u^2))=pi/4-(1/2)arcsinu得到

不过说句老实话，证法3我并没有看懂，如果有大神看懂了可以跟我讲一下

分享一种最简单的证法，也是经典例题。
证明9:傅立叶分析证明
教科书上最普遍的证明
考虑函数f(x)=x² x∈(-π,π)将其傅立叶展开,计算得知f(x)=π²/3+∑(1,∞)(-1)^n×4/n²×cosnπ显而易见，代入f(0)得到答案
（手机打比较烦，所以格式没有pc那么好qwq）