【题目】来源: 作业帮
如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．
【考点】
作图—复杂作图
全等三角形的判定
轴对称的性质
【解析】
（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．
【解答】
(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给(4分).
(2)画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求(不写文字说明不扣分)给(3分).
(说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点,而无对称的画图痕迹,给1分)
(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，
∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
∴∠AP1B+∠BP1C=180度。
∴P1在AC上，
同理，P2也在AC上.(9分)
在△DP1P2和△BP1P2中，
⎧⎩⎨⎪⎪∠DP2P1=∠BP2P1P1P2=P1P2∠DP1P2=∠BP1P2，
∴△DP1P2≌△BP1P2(ASA)
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B. D关于AC对称。
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点.(14分)
题目来源：作业帮
【题目】来源: 作业帮
（2006•安徽）如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P 1 、P 2 （如图（2）），证明线段P 1 P 2 上任一点也是它的半等角点．
【解析】
（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度．∴P 1 在AC上，同理，P 2 也在AC上，再利用ASA证明△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 而，那么△P 1 DP 2 和△P 1 BP 2 关于P 1 P 2 对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．
【解答】
解 答 （1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）
（3）连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意，
∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C，
∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度．
∴P 1 在AC上，
同理，P 2 也在AC上．（9分）
在△DP 1 P 2 和△BP 1 P 2 中，
∠DP 2 P 1 =∠BP 2 P 1 ，∠DP 1 P 2 =∠BP 1 P 2 ，P 1 P 2 公共，
∴△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 ．（11分）
所以DP 1 =BP 1 ，DP 2 =BP 2 ，于是B、D关于AC对称．
设P是P 1 P 2 上任一点，连接PD、PB，
如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．
【考点】
作图—复杂作图
全等三角形的判定
轴对称的性质
【解析】
（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．
【解答】
(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给(4分).
(2)画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求(不写文字说明不扣分)给(3分).
(说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点,而无对称的画图痕迹,给1分)
(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，
∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
∴∠AP1B+∠BP1C=180度。
∴P1在AC上，
同理，P2也在AC上.(9分)
在△DP1P2和△BP1P2中，
⎧⎩⎨⎪⎪∠DP2P1=∠BP2P1P1P2=P1P2∠DP1P2=∠BP1P2，
∴△DP1P2≌△BP1P2(ASA)
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B. D关于AC对称。
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点.(14分)
题目来源：作业帮
【题目】来源: 作业帮
（2006•安徽）如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P 1 、P 2 （如图（2）），证明线段P 1 P 2 上任一点也是它的半等角点．
【解析】
（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度．∴P 1 在AC上，同理，P 2 也在AC上，再利用ASA证明△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 而，那么△P 1 DP 2 和△P 1 BP 2 关于P 1 P 2 对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．
【解答】
解 答 （1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）
（3）连P 1 A、P 1 D、P 1 B、P 1 C和P 2 D、P 2 B，根据题意，
∠AP 1 D=∠AP 1 B，∠DP 1 C=∠BP 1 C，
∴∠AP 1 B+∠BP 1 C=180度．
∴P 1 在AC上，
同理，P 2 也在AC上．（9分）
在△DP 1 P 2 和△BP 1 P 2 中，
∠DP 2 P 1 =∠BP 2 P 1 ，∠DP 1 P 2 =∠BP 1 P 2 ，P 1 P 2 公共，
∴△DP 1 P 2 ≌△BP 1 P 2 ．（11分）
所以DP 1 =BP 1 ，DP 2 =BP 2 ，于是B、D关于AC对称．
设P是P 1 P 2 上任一点，连接PD、PB，
