8.“根据3.2,因果关系研究等同于U(时空流形)的共形几何研究,即相当于对所有与物理度规g共形的度规g’(g’=Ω^2g,这里Ω是非零Cr【指r次连续可微】函数)的集合进行研究。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
9.“物理上看,似乎有理由假定存在一种连续定义在每个时空点的局部热力学时间箭头,但我们仅要求能对非类空向量连续地定义一种分割,将分割的两部分任意贴上未来方向和过去方向的标签。如果是这样的,则称时空是时间可定向的。某些时空不能这样定义时间方向,例如de Sitter空间的时空,它的点是通过对五维嵌入空间的远点的反射而叠合起来的。在这个空间里,存在不同伦于零的闭合曲线,时间沿曲线一周就反向了。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
——————————————————————————————第一节“可定向性”
10.“令时空具有上节说明的那种时间可定向性,则我们可将每一点的非类空向量分为未来方向的和过去方向的。于是,对集合T和U,我们定义T相对于U的时序未来I+(T,U)是U的一个点集,其所有的点都能经自T出发的U中未来方向的类时曲线到达。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
———————————————————————————————第二节“因果曲线”
11.“T相对于U的因果未来记为J+(T,U),定义为T∩U和U中所有能从T出发的未来方向的非类空曲线到达点的集合的并。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
———————————————————————————————第二节“因果曲线”
12.“我们称曲线γ:F→U(这里F是R1的一个连通区间)是未来方向的非类空曲线,是指对每个t∈F,在F内存在t的邻域G,在U上存在γ(t)的凸正规邻域U’,使得对任一t1∈G,在t1<t时有γ(t1)∈J-(γ(t),U’)-γ(t),而在t1>t时有γ(t1)∈J+(γ(t),U’)-γ(t)。如果同样条件在I而不是J中成立,则称曲线γ是未来方向的类时曲线。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
———————————————————————————————第二节“因果曲线”
13.“如果I+(T)∩T为空,或者说,如果T的任意两点间不存在类时间隔,则称T是非时序的。如果T含I+(T),则称T是未来集合。注意,如果T是未来集合,则U-T是过去集合。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
———————————————————————————————第三节“非时序边界”
14.“对开集U’的每一个紧集H含U’,如果有:
J+(H)的边界∩U’=E+(H)∩U’和J-(H)的边界∩U’=E-(H)∩U’,则称U是因果简单的。”
————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
———————————————————————————————第三节“非时序边界”
15.“我们也许可以构造一种理论,它允许存在闭合类时曲线【“如果我们驾驶飞船沿这种闭合曲线飞行一圈,回到出发之前,于是从一开始就能阻止自己起飞”——霍金】,并修正了自由意志的概念,但我们更愿意相信,时空满足我们所谓的时序性条件:不存在闭合类时曲线。当然,我们也必须牢记,可能存在并不满足时序性条件的时空点(也许是那些密度或曲率非常大的点)。所有这些点的集合称为U的时序性破坏集。”
—————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
——————————————————————————————第四节“因果性条件”
16.“如果不存在闭合非类空曲线,我们就说满足因果性条件。”
—————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
——————————————————————————————第四节“因果性条件”
17.“我们排除了闭合非类空曲线,我们同样有理由排除以下情形:一条非类空曲线任意接近地返回其起点,或任意接近地通过另一条任意接近地通过了它起点的非类空曲线,等等。Carter(1971a)曾指出,相应于所涉及的极限过程的次数和阶数,这种更高阶因果性条件的无穷级次比不可数无穷大还要多。”
—————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
——————————————————————————————第四节“因果性条件”
18.“如果p∈U的每个邻域都包含这样一个p的邻域,其中从p出发的未来(过去)方向的非类空曲线最多与它相交一次,则称未来(过去)鉴别条件(Kronheimer and Penrose(1967))在p点成立。”
—————————————————————《时空的大尺度结构》第六章“因果结构”
——————————————————————————————第四节“因果性条件”