58题

如图
EC×EF=EA×EB （ACFB共圆）
=ED×EG （ABGD共圆）
故
DCFG供应共圆
∠EDC=∠EFG （DCFG共圆）
=∠DCN （弦切角）
因此
CN//ED
同理
DM//EC
故
∠ECN=∠EGF （CN//EG)
=∠CDM （弦切角）
因此CMND共圆
故
∠FCM=∠FCN-∠MCN
=∠FEG-∠MDN （CN//EG, CMND共圆）
=∠MDG-∠MDN （MD//CE)
=∠GDN

60题

如图
过点B作AC的平行线交AF延长线于点K
易证
ABKC为平行四边形
△PFQ∽△AFB
△OFR∽△AFC
进一步可得
△FRQ∽△BKA
故
∠OPQ+∠ORQ
=（∠OPF+∠FPQ)+（∠ORF+∠FRQ)
=（∠AEF+∠FAE+（∠ACF+∠AKB)）
=∠AEF+∠FAE+∠ACF+∠CAF
=180
因此
OPQR共圆

最后一个：做△CEF外接圆，由EF//AB知该圆与大圆内切于C，过C做两圆公切线交EF于X，由根心定理知从C点切线、EF、HG交于根心X
∠A=∠XCB=∠CEF，故CX²=XF×XE，而CH为角平分线，有∠CKX=∠CEF+ACH=∠HCB+∠XCB=∠KCX，故CX²=XF²=XF×XE=XG×XH，故∠XFG=∠CHX=∠D，故CD//AB

第一道题利用沢山定理，把外切换为内切可以更好理解一些，证明原理依然不变，明天晚上给予解答，先睡觉了

有点像刷子题典哦

这百度贴吧还真有我自己可见，别人看不见的回复，震惊我8年，我确实没删帖，登录自己账号时能看见，退号了中间就少一个11楼，抱歉造成疑惑哈，这是百度贴吧的问题@三镜双黄连