卡-丘空间是如何诞生的?
我讲讲我自己的历史。
1969年,我到伯克利念书,1970年,我上广义相对论的课。我学这个课的时候觉得很有意思,觉得爱因斯坦提出来的引力的几何表述是一个很有意义的想法。物理全部可以用几何来表达,这对做几何学的我来讲,有无比的吸引力。
爱因斯坦认为引力场可以用时空的曲率来表示,引力本身其实就是时空的一部分,即时空几何的一部分。无论是从哲学的观念来看,还是从数学的观念来看,时空是几何的一部分,这是一个很深刻的理论。我们很想了解几何,爱因斯坦的这个想法使我想到,我们可以从物理的观点来了解数学。爱因斯坦认为时空在不停地扭动、不停地改变,它改变的原因是因为时空有引力,引力在不停地动。他的想法是时空里边有曲率,曲率是整个引力场的表现。
爱因斯坦讲,从引力场出来的一小部分曲率,即里奇张量,是由物质提供的,但这只是一小部分。
这个问题是很有意思的。因为我发觉这个问题原来是一个几何学家尤吉尼奥·卡拉比(Eugenio Calabi)提出来的。假如一个空间是真空的,就是没有物质,那么真空是不是没有引力场,这是一个问题,他用抽象的数学语言写下了这个问题。卡拉比从来没有想过物理的问题,他是纯粹以几何的观点来问这个问题。所以他的想法跟我当时的想法不一样,他是想解决几何上的问题,我是想解决物理上的问题。
物理上的问题就是,假如一个时空是真空的,是否含有引力场?卡拉比提出一个构想,是要解决一个很复杂的非线性方程。所以我当时就猜想,卡拉比猜想其实就是讲,我们在一个很特殊的空间里边,加一个对称性,这个对称性就是三十年来物理学家很感兴趣的超对称。在这样一个空间里边,我们可不可以找到一个真空的时空?
当时,有很多几何学家,包括我当年的很多朋友,认为卡拉比猜想太好了,不大可能成立,所以他们放弃了证明这个东西是对的。如果卡拉比猜想是对的,就有很多很好的数学上的结论。我当时跟我的很多朋友一样,不相信这个是对的。但是事实上,我经过很多困难,在想给出一个反例证明它不对的时候,终于经过六年的工夫最终发现它是对的,最后将它证明了。现在物理学家把它叫做“卡拉比-丘成桐空间”。
我问,一个真空的宇宙,假如没有物质,它有没有引力?结果现在发现很多空间是真空而有引力场的,这种空间,我们要怎么看?我当时跟很多有名的物理学家讨论过,他们不晓得这个事情。我跟他们讲,这个是很自然的想法,不可能在物理上不出现,但他们也没有什么建议。
到了70年代,人们发现自然界可以有一个所谓“超对称”的假想对称性,这是很微妙的事。不过四十年过去了,至今还没有实验证明超对称的存在。如果超对称存在的话,很多物理疑难会被解决。超对称的想法,刚好跟我做的卡拉比猜想有密切的关系,因为这个空间(卡拉比-丘成桐空间)刚好有超对称,可以解决很多物理上的疑难。
所以1984年的时候,物理学家来找我了。他们在找弦论里边的真空,考虑它的物理现象。他们发现寻找弦论里边的真空的时候,最美妙的就是找我们构造的空间,现在叫“卡拉比-丘成桐”空间,来作为弦论的真空。因此他们就来问我,究竟这个事情存不存在?他们当时想做个模型,这个模型要求既有超对称,同时又要是没有物质的真空,并且这个真空是个很小的空间。当时他们不晓得这个真空在数学上存不存在,所以打电话给我。我跟他们讲,这个是存在的,他们很高兴,写了好几篇文章。到现在至少有几千篇或者一万篇以上的文章,在用这个空间来讨论物理现象。
这个空间除了对物理有重要的启发以外,也对数学有重要的启发。其中一个重要的现象,是1989年我的一个博士后和一个研究生在哈佛发现的镜像对称性。镜像对称性不仅可以解决很多物理上的问题,也可以解决数学上的重要问题。
物理上的重要问题是什么呢?在量子场论里边,一般他们推导要用微扰理论来做计算,可是当不是微扰的时候,量子场论是完全没办法计算的。镜像对称性表明大变动的(非微扰)量子场论可以跟某一个微扰量子场论具有一样的结构,这个现象叫做对偶。所以困难的理论(非微扰量子场论)可以用对偶这样一个想法来计算。
镜像对称对物理而言是重要的想法,对数学也很重要。我们从这里可以看出,物理学对数学有很大的帮助。物理学家从他们的洞察力得出来的一些想法,能够帮助数学家走向重要的前沿。量子场论、量子力学本身并不是日常生活中能够天天碰到的经验。物理学家通过量子力学和量子场论得出来的这种洞察力,并不是普通数学家能够了解的。所以无论广义相对论也好,量子场论也好,物理学家得出来的想法并不是一般的数学家能够随便得出来的。因此在数学上有很多重要的工作,就是从这个方向来的。但是,假如基础物理没有实验的话,那么这些经验全部是假的。
所以,数学家不停地要理论物理学家来帮忙,理论物理学家不停地要求有实验物理学家来帮忙,这三者是连在一起的,不可分开。只是数学也可以不需要理论物理帮忙,数学本身可以有它存在的方法,而理论物理可以让数学更漂亮。但基础物理若没有实验证明,则是很不好的事情。