问

百度zeta function

黎曼Zeta函数

p为偶数时能算出初等解。

=ζ(p)

这就是一个p级数啊……p＞1的时候可以证明收敛

最近刚复习到级数，我就给你证明一下吧。
第一种方法：
当p＞1时，记a＝p-1＞0。
由拉格朗日中值定理得：
1/（n-1）^a-1/n^a＝a/ξ^p＞a/n^p
其中：ξ∈（n-1，n）
从而有∑1/n^p＜1/a×∑（…）
不等式右边收敛（裂项相消，并专门挖掉n＝1时出现的1/0即可），由正项级数的收敛判定即可证明p级数收敛

方法二：
利用可惜积分判别法。由于1/x^p单调递减且恒为正，在［1，+∞）有界，则∫ 1/x^p dx与∑1/n^p敛散性相同（1到无穷积分）。对其进行积分得到如下形式：
常数*x^（1-p）
因1-p＜0，则该积分收敛，故而级数收敛