一道数列极限题

目测楼主表达有点问题。
证明：
（1）
令 gn(x) = fn(x) - 1
gn(0) = (1 + 1 + .... + 1 - 1) = n - 1 , ( > 0 )
gn(π/3) = (1/2 + 1/2^2 + .... + 1/2^n ) - 1 = ( 1 - 1/2^n ) - 1 = - 1/2^n ， （ < 0 ) ， （ 式1）
由零值定理，知在 （0 ，π/3 ） 上 gn（x ） = 0 至少有一个根 Xn ，
又 在 （0 ，π/3 ） 上
g' n(x) = f ' n(x) = - sinx [ 1 + 2 cosx + 3 * ( cosx)^2 + ... + n * ( cosx )^(n-1) ] < 0
故 gn(x) 严格单调减小。 因此 gn（x ） = 0 有唯一的 根 x = Xn ，
gn （ Xn ） = 0 ， （式 2 ）
即在 （0 ，π/3 ） 上 fn(x) = 1 有唯一根 Xn 。
（2）
（式 2 ） - （式 1 ） ， 有
[ cosXn - 1/2 ] + [ ( cosXn )^2- (1/2)^2 ] + [ ( cosXn )^3- (1/2)^3 ] + ... + [ ( cosXn )^n- (1/2)^n ] = 0 - （- 1/2^n ）
提取因式 [ cosXn - 1/2 ] ， 有
[ cosXn - 1/2 ] * [ 1 + ( cosXn ) + (1/2) ] + [ ( cosXn )^2 + cosXn *(1/2) + (1/2)^2 ] + ... + [ ( cosXn )^(n-1) + ( cosXn )^(n-2)(1/2) + ( cosXn ) * (1/2)^(n-1) ] = 1/2^n
即 [ cosXn - 1/2 ] * R(n-1) ( cos Xn ) = 1/2^n
其中， R(n-1) ( cos Xn ) 是 cos Xn 的 n-1次多项式。
( n --> +∞ ) lim { [ cosXn - 1/2 ] * R(n-1) ( cos Xn ) } = ( n --> +∞ ) lim {1/2^n } = 0
显然， R(n-1) ( cos Xn ) > 1 ，
故必有
( n --> +∞ ) lim { [ cosXn - 1/2 ] } = 0
即 ( n --> +∞ ) lim { cosXn } = 1/2
因此， ( n --> +∞ ) lim { Xn } = arc cos(1/2) = π/3
这样写会不会漂亮些、顺畅些？