第九题:一艘小绿人的宇宙飞船发现了一个完全成球形的小行星。从小行星的表面A点到其中心O点,他们钻了一个很窄的实验用的竖直的矿井,从而证明了整个小行星是由密度均匀的金属钛组成。在表面上的A点,一个小绿人不小心掉进了实验井。他毫无阻碍地掉了下去,一直到小行星的中心O点。在那里,他因为撞击而死去了。然而,工作仍在继续,小绿人们开始秘密挖掘金属钛,在这个过程中,他们在小行星的内部挖了一个以OA为直径的球形腔(从外面看,只能看见一个很小的洞口)。然后,又有一个小绿人,从A点掉了下去,竖直落下,摔倒O点,死了。求:这两个不幸的小绿人从A点掉到O点所用时间的比值,以及撞击速度的比值。
提示:算能量,用简谐振动处理,不需要用微积分。
第十题:上题中的小绿人继续他们的开采,直到把这个小行星挖成了一个半球形。原先在小行星表面的重力加速度为 4米/秒平方 请问:此时,在原小行星的中心(即此半球的大圆面的中心)处,重力加速度为多少?
提示:不需要用微积分。
第十一题:上题中的小绿人又发现了一个均匀的、完全成球形的半径为10千米的钛金属小行星。他们开始开采,并将开采部分运到小行星的表面。小绿人绕着小行星的赤道钻了一个宽度为1m的矿井,他们通过这个矿井来开采钛金属,直到他们将小行星完全切成了两半。然后,事故发生了,将小行星费城两个半球体的支柱断裂了,小行星塌了下来。请问:小行星坍塌之前,作用在支柱上的力是多少?请估算。
提示:用能量计算,不需要用微积分。