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因为所求积分即为所围的曲顶柱体的体积.该曲顶柱体的底为XOY面上的直线x+y=1与X轴,Y轴围成的三角形区域. 而以曲线和平面的交线(z=xy和x+y+z=1的联立方程)为界,靠近坐标轴的区域,顶是曲面z=xy,靠近直线x+y=1的区域,顶是平面z=1-x-y. 反映到投影区域上,分界线就是xy=1-x-y和z=0的联立方程.
这题目比较扯淡的. 因为z=XY的图形手工很难画,所以直观上不容易想象出所围立体的形状. 如果会用mathematica画立体图形,自然一目了然.
另一种比较粗暴的分析所围立体的方法: 你可以并画几条取不同c值的曲线XY=c (其实就是曲面Z=XY在不同的Z平面的截线),就可以知道,如果不计坐标轴的话,Z=xy的图形是由I,III,VI,VIII卦限互不相交的四个曲面组成的.要与x+y+z=1和Z=0围出闭区域,只能是z=xy位于第一卦限的曲面与两平面能围出. 而z=xy位于第一卦限的曲面,你可以想象是这么生成的: 一根长度无限的橡皮筋,摆放位置通过X轴正半轴和Y轴正半轴,当在橡皮筋中心位置水平方向发力,把橡皮筋拉离X轴和Y轴的同时,沿Z轴方向把橡皮筋向上方提起,橡皮筋的运动轨迹就是所求曲面.于是所围立体是底为XOY面上的直线x+y=1与X轴,Y轴围成的三角形区域,顶一部分是曲面z=xy,另一部分是x+y+z=1的曲顶柱体.
这题目比较扯淡的. 因为z=XY的图形手工很难画,所以直观上不容易想象出所围立体的形状. 如果会用mathematica画立体图形,自然一目了然.
另一种比较粗暴的分析所围立体的方法: 你可以并画几条取不同c值的曲线XY=c (其实就是曲面Z=XY在不同的Z平面的截线),就可以知道,如果不计坐标轴的话,Z=xy的图形是由I,III,VI,VIII卦限互不相交的四个曲面组成的.要与x+y+z=1和Z=0围出闭区域,只能是z=xy位于第一卦限的曲面与两平面能围出. 而z=xy位于第一卦限的曲面,你可以想象是这么生成的: 一根长度无限的橡皮筋,摆放位置通过X轴正半轴和Y轴正半轴,当在橡皮筋中心位置水平方向发力,把橡皮筋拉离X轴和Y轴的同时,沿Z轴方向把橡皮筋向上方提起,橡皮筋的运动轨迹就是所求曲面.于是所围立体是底为XOY面上的直线x+y=1与X轴,Y轴围成的三角形区域,顶一部分是曲面z=xy,另一部分是x+y+z=1的曲顶柱体.
