关于“多元一次不定方程”的整数解的问题

“二元一次不定方程”是解决更多元的不定方程的基础，下面我们着重来看看“二元一次不定方程”的情况。
“二元一次不定方程”解的问题有众所周知的如下定理：
如果a，b，c是正整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为：
x=x0-bt,
y=y0+at,
t为任意整数。
下面我按自己的思路逐步发问且期待与朋友交流。
第一个问题：为什么说x=x0-bt,y=y0+at,（t为任意整数）是ax+by=c的通解？它真的包含了ax+by=c的一切整数解了吗？

“二元一次不定方程”解的问题有众所周知的如下定理：
如果a，b，c是正整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为：
x=x0-bt,
y=y0+at,
t为任意整数。
第一个问题：为什么说x=x0-bt,y=y0+at,（t为任意整数）是ax+by=c的通解？它真的包含了ax+by=c的一切整数解了吗？
思路：只要证明ax+by=c 的任意一组解都可以表成x=x0-bt,y=y0+at的形式。
证明：设已知x0，y0是ax+by=c 的一组解(通常称之为“特解”），x'、y'为任意一组解，则有：
ax0+by0=c， ①
ax＇+bx＇=c， ②
②- ①得：a(x＇-x0)+b(y＇-y0)=0，
即a(x＇-x0)=b(y0-y＇) ③ ，
因为a，b互质，所以a｜（y＇-y0），即y＇-y0=at，也就是y＇=y0+at．
将y＇=y0+at代入③，即得x＇=x0-bt．
因此x＇，y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程的一切整数解，也就是说，它是通解。
说明：
从以上证明过程容易看出，ax+by=c 的通解除了x=x0-bt,y=y0+at外，也可以写成
x=x0+bt,y=y0-at。（也就是其中的-b、+a，可以是+b、-a）。

第二个问题：上述的通解，是人家给出的，我们学习、掌握后，很方便地拿来用。要是本来不知道有这种形式的解（然后证明它是通解），我们自己能探究出来吗？我们还能找到别的形式的通解吗？

“二元一次不定方程”解的问题有众所周知的如下定理：
如果a，b，c是正整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为：
x=x0-bt,
y=y0+at,
t为任意整数。
上述的通解，是人家给出的，我们学习、掌握后，很方便地拿来用。要是本来不知道有这种形式的解（然后证明它是通解），我们自己能探究出来吗？我们还能找到别的形式的通解吗？
我是这么找的：
给出了一组特解x0，y0后，可先设某一解为：x=x0+mt,y = y0 +nt。
如何确定参数t的系数m、n？只需代入ax+by=c后，能消去参数t即可：
a（x0+mt）+b(y0 +nt)=c,整理：（ax0+by0)+(am+bn)t=c,于是有：am+bn=0.
也就是m/n=-b/a.这样，取m=-b、n=a即可。
于是就得到ax+by=c的解：
x=x0-bt,
y=y0+at,
t为任意整数。
然后如4楼所证，这是通解。
说明：
一，由m/n=-b/a取m=b、n=-a也可。所以，ax+by=c的通解也可以写成
x=x0+bt,
y=y0-at,
t为任意整数。
二，由m/n=-b/a取m=2b、n=-2a也可，所以，ax+by=c的解也可以写成
x=x0+2bt,
y=y0-2at,
t为任意整数。
但容易说明，这不是通解。
怎么说明呢？

“二元一次不定方程”解的问题有众所周知的如下定理：
如果a，b，c是正整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的通解可以表示为：
x=x0-bt,y=y0+at, 或 x=x0+bt,y=y0-at。t为任意整数。（1）
请看：x=x0+2bt,y=y0-2at, t为任意整数。（2）
这是解，是没问题的。请问：是通解吗？
把（2）改写成如下：
x=x0+b(2t),y=y0-a(2t)。
显然，对于任意的t,这个解只能得到上述通解
x=x0+bt,y=y0-at（1）中的参数t取偶数的情况。而得不到“通解（1）”中参数t取奇数的情况。
由此知，x=x0+2bt,y=y0-2at, t为任意整数。不是ax+by=c的通解。
总之，如果不说特解的不同之外，ax+by=c的通解实质上只有一种形式。

关于“二元一次不定方程”ax+by=c（a，b，c是整数，其中a,b互质）解的问题，前面知道了通解：x=x0-bt,y=y0+at, 或 x=x0+bt,y=y0-at。t为任意整数。
由此可知，在实际求二元一次不定方程的解的关键是找到一组特解。当数据比较小的时候，通过观察、试算，容易找到。在数据较大时，就需要“降系数”后再观察、试算，然后找到特解。
比如，7x-13y=110。解出x=(110+13y)/7,降系数：x=16+2y-(2+y)/7.
立刻得到y0=-2（或者-9、5、12等等），进而算得x0=12.
这就能写出通解为：x=12+13t，y=-2+7t.
其实，对于具体的题目，我们也可以不必去求特解、去记通解公式。用上面求特解的方法，就可以求出通解。我们从头写出：
对7x-13y=110。解出x=(110+13y)/7,降系数：x=16+2y-(2+y)/7.
于是(2+y)/7=t,也就是y=7t-2,回代求出x=13t+12.
在我看来，这种方法更加通俗，避免了对通解的一般性的探究。

这两种方法，都可以很好地运用到“三元一次不定方程”ax+by+cz=d（a，b，c,d是整数，其中a,b,c互质)。
比如：求三元一次不定方程3X+2y+9Z=25的整数解。

问题：求三元一次不定方程3X+2y+9z=25的整数解。
说明：“二元一次不定方程”是解决更多元的不定方程的基础，为方便查用，把关于“二元一次不定方程”的通解的结论重述如下：
如果a，b，c是整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的通解可以表示为：
x=x0-bt,y=y0+at, 或 x=x0+bt,y=y0-at。t为任意整数。

解法一：利用二元一次不定方程的通解公式。
一，在3X+2y+9z=25中，令3X+2y=m①,则有m+9z=25②
因为3X+2y=m①的一组特解为：x0=m,y0=-m,所以①的通解为：x=m-2s,y=-m+3s③
而m+9z=25②的一组特解为：m0=7,z0=2,所以②的通解为：m=7-9t④,z=2+t⑤。
二，把m=7-9t④代入x=m-2s,y=-m+3s③，连同⑤，即得3X+2y+9Z=25的通解：
x=7-9t-2s,
y=-7+9t+3s，
z=2+t。
解法二：仍利用二元一次不定方程的通解公式（请对照解法一，自己区别两种解法一的异、同点）。
一，在3X+2y+9Z=25中，令3X+2y=m①,则有m+9z=25②
因为3X+2y=m①的一组特解为：x0=m,y0=-m,所以①的通解为：x=m-2s,y=-m+3s③
把m+9z=25②改写为：m=25-9z,再把z写为t,就有m=25-9t④。
二，把m=25-9t④代入x=m-2s,y=-m+3s③，连同z=t，即得3X+2y+9Z=25的通解：
x=25-9t-2s,
y=-25+9t+3s，
z=t。
解法三：待续！

不懂

问题：求三元一次不定方程3x+2y+9z=25的整数解。
10楼给出了两种解法，下面来看第三种解法。
解法三：
一，把3x+2y+9z=25改写为y=(25-3x-9z)/2=12-x-4z+(1-x-z)/2；
二，令(1-x-z)/2=s,改写为x=1-z-2s,进而可求得y=11+3s-3z;
三，为了“顺眼”，把z写成t,就有了3x+2y+9z=25下面的通解：
x=1-t-2s,
y=11-3t+3s;
z=t。

以上我给出了三元一次不定方程3x+2y+9z=25的三个“通解”：
10楼解法一：x=7-9t-2s,y=-7+9t+3s，z=2+t。
10楼解法二：x=25-9t-2s,y=-25+9t+3s，z=t。
12楼：x=1-t-2s,y=11-3t+3s，z=t。
以上是按“正规”方法求出的，说是通解，是有根据的。但别人如何判定呢？
我还可以写出好多“解”，但是不是“通解”，我目前还不敢肯定。期待有人给与判定。
比如：x=2+t,y=5+3t-9s,z=1-t+2s。
又如：x=7-7t-7s,y=-7+6t+6s，z=2+t+s。

ax+by+cz=d,(a,b)=1有如下通解：
x=(d-ct)a^(φ(b)-1)+bs,t,s是参数，整数。
y=(d-ct)(1-a^φ(b))/b-as
z=t
φ(b)是欧拉函数，是可积函数。若b是质数，φ(b)=b-1

你还是看看线性方程的书，三个未知数，一个方程，所以可以任给2个数，求出第三个数。

@爱佛费克斯
我们知道：
如果a，b，c是正整数，其中a,b互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0，则此方程的通解可以表示为：
x=x0-bt,y=y0+at, 或 x=x0+bt,y=y0-at。t为任意整数。
请问：x=x0+2bt,y=y0-2at, t为任意整数。这是通解吗？
按你的说法，“是不是通解，代入原方程即知道了。”
我们把“x=x0+2bt,y=y0-2at”代入方程ax+by=c，满足！那应该是通解了？