大约一百年前,德国数学家豪斯朵夫问了一个看似奇特的问题:如何判断一个空间的维度。
在传统的数学体系里这问题没有意义,维度是在定义空间之初就预设好的。点是零维,线是一维,面是二维,诸如此类。
但豪斯朵夫的问题是,如果不是一个传统的连续空间,如果根本就是一个离散但密集的个体的集合,如果它的结构复杂混乱,不能简单刻画为一条线或一个面,我们该怎么定义它的维度呢?
他提出了一个极具洞见,既新颖又深刻的思路:
在传统的几何学里,空间的大小是维度的的指数函数。一维空间如果尺度倍增,空间也会扩大两倍,二维空间尺度倍增之后会扩大四倍,三维空间会扩大八倍。依次类推。豪斯朵夫说:既然如此,就把维度反过来定义为空间尺度变化的对数好了。如果一个空间的尺度倍增之后扩大了 2 的 n 次方,就可以说这个空间是 n 维的。
这个想法的威力在于,它完全不需要这个空间有任何规整的几何结构,可以定义在任何曲折混沌的对象上。而维度甚至也不需要是固定的整数。在上面那个定义里,n 是被计算出来的,而计算的结果可能是任何非负实数,一个空间完全可以是 1.58 维的。也没有理由它一定在空间内部处处相等,维度是个局部的概念,不是全局的。
就这样,豪斯朵夫大大解放了人们对于维度的理解。他的洞察源于这样一个简单但又极少被重视的事实:古典的几何对象只能够刻画简单完美的形状,而现实世界要模糊晦涩得多。非整数维度并不是数学的臆想,恰恰相反,不完美的维度是大自然的本质,反倒是纯粹的点线面体才是数学家高度抽象的理想概念。
在传统的数学体系里这问题没有意义,维度是在定义空间之初就预设好的。点是零维,线是一维,面是二维,诸如此类。
但豪斯朵夫的问题是,如果不是一个传统的连续空间,如果根本就是一个离散但密集的个体的集合,如果它的结构复杂混乱,不能简单刻画为一条线或一个面,我们该怎么定义它的维度呢?
他提出了一个极具洞见,既新颖又深刻的思路:
在传统的几何学里,空间的大小是维度的的指数函数。一维空间如果尺度倍增,空间也会扩大两倍,二维空间尺度倍增之后会扩大四倍,三维空间会扩大八倍。依次类推。豪斯朵夫说:既然如此,就把维度反过来定义为空间尺度变化的对数好了。如果一个空间的尺度倍增之后扩大了 2 的 n 次方,就可以说这个空间是 n 维的。
这个想法的威力在于,它完全不需要这个空间有任何规整的几何结构,可以定义在任何曲折混沌的对象上。而维度甚至也不需要是固定的整数。在上面那个定义里,n 是被计算出来的,而计算的结果可能是任何非负实数,一个空间完全可以是 1.58 维的。也没有理由它一定在空间内部处处相等,维度是个局部的概念,不是全局的。
就这样,豪斯朵夫大大解放了人们对于维度的理解。他的洞察源于这样一个简单但又极少被重视的事实:古典的几何对象只能够刻画简单完美的形状,而现实世界要模糊晦涩得多。非整数维度并不是数学的臆想,恰恰相反,不完美的维度是大自然的本质,反倒是纯粹的点线面体才是数学家高度抽象的理想概念。