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非整数维度的度量、发展背景与人类关系学

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大约一百年前,德国数学家豪斯朵夫问了一个看似奇特的问题:如何判断一个空间的维度。
在传统的数学体系里这问题没有意义,维度是在定义空间之初就预设好的。点是零维,线是一维,面是二维,诸如此类。
但豪斯朵夫的问题是,如果不是一个传统的连续空间,如果根本就是一个离散但密集的个体的集合,如果它的结构复杂混乱,不能简单刻画为一条线或一个面,我们该怎么定义它的维度呢?
他提出了一个极具洞见,既新颖又深刻的思路:
在传统的几何学里,空间的大小是维度的的指数函数。一维空间如果尺度倍增,空间也会扩大两倍,二维空间尺度倍增之后会扩大四倍,三维空间会扩大八倍。依次类推。豪斯朵夫说:既然如此,就把维度反过来定义为空间尺度变化的对数好了。如果一个空间的尺度倍增之后扩大了 2 的 n 次方,就可以说这个空间是 n 维的。
这个想法的威力在于,它完全不需要这个空间有任何规整的几何结构,可以定义在任何曲折混沌的对象上。而维度甚至也不需要是固定的整数。在上面那个定义里,n 是被计算出来的,而计算的结果可能是任何非负实数,一个空间完全可以是 1.58 维的。也没有理由它一定在空间内部处处相等,维度是个局部的概念,不是全局的。
就这样,豪斯朵夫大大解放了人们对于维度的理解。他的洞察源于这样一个简单但又极少被重视的事实:古典的几何对象只能够刻画简单完美的形状,而现实世界要模糊晦涩得多。非整数维度并不是数学的臆想,恰恰相反,不完美的维度是大自然的本质,反倒是纯粹的点线面体才是数学家高度抽象的理想概念。


IP属地:山东1楼2017-05-11 16:02回复
    1919年
    一战结束不久。整个欧洲都在面对古典体系的崩塌和浩劫中支离破碎的社会。
    差不多同一个时期
    斯特拉文斯基的春之祭在巴黎首演,粗暴的和弦和不规则的调性彻底告别了浪漫主义时期的古典音乐;
    毕加索正处在立体主义绘画创作的高峰期,竭力拆解几乎所有绘画对象的静态视角;
    德布罗意正在写博士论文,指出,任何物质都既是粒子也是波,量子力学的不确定性原理呼之欲出;
    维特根斯坦出版了名著《逻辑哲学论》,宣布:一切形而上学的陈述都是没有意义的。
    这一年,豪斯朵夫提出了对所处维度的度量理论。


    IP属地:山东2楼2017-05-11 16:06
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      从人类关系学上讲,一个群体的维度,取决于一个人周围和他相似程度在一个特定距离以内的人数,把这个距离放大一倍之后的人数之比是 2 的几次方,就是这个群体的维度。


      IP属地:山东5楼2017-05-11 16:19
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        但真实的世界恐怕远比这些模型都复杂得多,今日尤其如此。社会早已不再围绕着一个统一的中间派作为核心,而是分裂成若干各自为政的气泡,画地为牢,渐行渐远。在社交媒体的作用下,由于议题的变幻,这些气泡之间可以表现出复杂的合纵连横,但彼此已经不再有情绪的共振和精神的团结,昨日的联盟会是明日的仇寇。不同的人在不同的视野中观察出的世界面貌可以全然不同,无法再用一个单一的维度和形状来描述它了,云朵和闪电也许才是更合适的比喻。
        在古典观念熏陶下长大的一代人,往往会在这幅新的世界图景面前手足无措,甚至会对周遭的变化表现出惊人的麻木不仁。1989年12月23日和12月25日,柏林墙刚刚崩溃之后,伯恩斯坦受邀在西柏林和东柏林分别指挥演奏了贝多芬的第九交响曲,成为不朽的经典。欧洲的统一近在咫尺。《欢乐颂》在1985年被定为欧共体的会歌,进而在1993年成为欧盟的国歌。显而易见,历史已经终结,天下即将大同,《欢乐颂》的歌词即将成为现实。只有最悲观的人才会愿意预期,仅仅一弹指间,欧盟就将命悬一线,而纳粹将会卷土重来。
        躲在一个气泡里的个体可以假定岁月静好,一切宛如昨日幻乐,但这往往是悲剧的起源。他看到的只是一个复杂屈折的世界在更低维度上的投影,一个对狂飙突进的历史湍流的简笔画般的描摹,一个更容易被媒体所采纳和记忆的粗糙叙事,一座层移倒悬重重折射下的海市蜃楼。而真实——如果真实仍然有意义的话——则掉落在幽暗深邃的维度的缝隙里。在那里,一幅粗粝斑驳扭曲异质的图景,会让一个在不经意的一瞥之间扭过头去的观察者惊骇和战栗不已。


        IP属地:山东6楼2017-05-11 16:44
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