【极限、连续与不等式】

听说贴吧多大神，这题我和我朋友们扯了大半天了，还没有结果
求大神解答
一个是用的泰勒公式
一个是先提的e的sinx方
但有人说这种泰勒公式用的不对，因为分子拆开来极限不存在
有的人说这种精确度相同，可以这么用
求大神们为小人解惑。