求解第三题

求满足根号n的整数部分整除n的正整数n

n∈N*

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解：设√n=a+b(,a是它的整数部分，b是它的小数部分，a≥1,0≤b＜1)
所以 [√a ] =a ,n=a²+2ab+b²
其中a²可以整除a²，必有a可以整除 2ab+b²
不妨设 (2ab+b²)/a=k (k为自然数）
b²+2ab-ak=0,解方程
得b=-a+√(a²+ak) ,另一个根为负数 舍去
因外 0＜b＜1
所以 0＜ -a+√(a²+ak)＜1
所以 a＜√(a²+ak)＜a+1
√(a²+ak)＞a本来就成立，不与考虑，所以之考虑
√(a²+ak)＜a+1 ，a²+ak＜a²+2a+1
解得k＜(2a+1)/a =2+1/a ≤3
所以k的值 只能是1或者2
当k=1时，带入b²+2ab-ak=0 得
b²+2ab-a=0 进行配方得
(a+b)²=a²+a
要想等号成立，必有b=0,a=0,n=0 不成立
当k=2时 得 b²+2ab-2a=0
(a+b)²=a²+2a=a(a+2)
因外a+b=√n ,即 n=a(a+2)
所以符合条件的正整数N=n(n+2)（n为自然数）
N的取值 是 3 8 15 24.。。。。。

上面错了
首先要改的地方是，其中a可以整除a²
另外要改的地方是
当k=1时
（a+b)²=a(a+1)
n=a(a+1) 是成立的
当k=2时
n=a(a+2) 也成立
所以最后正确的答案是
n=a(a+1) 或者n=a(a+2) a为正整数

谢谢了