解答：
(1)由g(x)=lnx+4,得g′(x)=1x，
y=g(x)在(1,4)处的切线斜率k=g′(1)=1，
则曲线在(1,4)处的切线方程y−4=(x−1)，即y=x+3，
由函数f(x)=5x2+ax+14(x>0),求导得,f′(x)=10x−ax2，
由函数f(x)=5x2+ax+14(x>0)与y=x+3相切，
则设切点P(x0,5x20+ax0+14),则10x0−ax20=1,即a=10x30−x20，①
则在P处的切线方程：y−(5x20+ax0+14)=x−x0，
整理得：y=x+(5x20+ax0+14)−x0,则5x20+ax0+14−x0=3，②
由x>0,解得：x=12，a=1，
∴实数a的值为1；
(2)证明：由(1)可知：f(x)=5x2+1x+14(x>0)，
设h(x)=f(x)−(x+3)=5x2+1x−x−114，
则h′(x)=10x−1x2−1=10x3−x2−1x
设m(x)=10x3−x2−1,∴m′(x)=30x2−2x=2x(15x−1)，
令m′(x)=0,解得x=115，
当x∈(0,115),m′(x)<0，函数递减，
当x∈(115,+∞),m′(x)>0，函数递增，
∵m(0)=−1<0,m(1)=8>0，
∴∃x0∈(0,1),使10x30−x20−1=0,∴10x20=1+x20x0，
∴h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增，
∴h(x)min=h(x0)=5x20+1x0−x0−114=12(x0+1x0)+1x0−x0−114=32x0−x02−14>32−12−14>0，
∴f(x)>x+3，
设t(x)=x+3−ln(x+4),x>−4,则t′(x)=1−1x+4=x+3x+4，
由t′(x)>0,得x>−3,由t′(x)<0，得−4<x<−3，
∴t(x)的增区间是(−3,+∞),减区间是(−4,−3)，
∴t(x)min=t(−3)=0,∴当x⩾0时,ln(x+4)<x+3，
∴当x⩾0时,f(x)>g(x).
分析：
（1）由g（x）=lnx+4，得g′（x）=1x，由导数的几何意义得曲线在（1，4）处的切线方程为y=x+3，由f′（x）=10x-ax2，且函数f（x）=5x2+ax+14（x>0）与y=x+3相切，能求出实数a的值．
（2）f（x）=5x2+1x+14（x>0），设h（x）=f（x）-（x+3）=5x2+1x-x-114，则h′（x）=10x-1x2-1=10x3-x2-1x设m（x）=10x3-x2-1，则m′（x）=30x2-2x=2x（15x-1），由此利用导数性质能证明当x≥0时，f（x）>g（x）．
(1)由g(x)=lnx+4,得g′(x)=1x，
y=g(x)在(1,4)处的切线斜率k=g′(1)=1，
则曲线在(1,4)处的切线方程y−4=(x−1)，即y=x+3，
由函数f(x)=5x2+ax+14(x>0),求导得,f′(x)=10x−ax2，
由函数f(x)=5x2+ax+14(x>0)与y=x+3相切，
则设切点P(x0,5x20+ax0+14),则10x0−ax20=1,即a=10x30−x20，①
则在P处的切线方程：y−(5x20+ax0+14)=x−x0，
整理得：y=x+(5x20+ax0+14)−x0,则5x20+ax0+14−x0=3，②
由x>0,解得：x=12，a=1，
∴实数a的值为1；
(2)证明：由(1)可知：f(x)=5x2+1x+14(x>0)，
设h(x)=f(x)−(x+3)=5x2+1x−x−114，
则h′(x)=10x−1x2−1=10x3−x2−1x
设m(x)=10x3−x2−1,∴m′(x)=30x2−2x=2x(15x−1)，
令m′(x)=0,解得x=115，
当x∈(0,115),m′(x)<0，函数递减，
当x∈(115,+∞),m′(x)>0，函数递增，
∵m(0)=−1<0,m(1)=8>0，
∴∃x0∈(0,1),使10x30−x20−1=0,∴10x20=1+x20x0，
∴h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增，
∴h(x)min=h(x0)=5x20+1x0−x0−114=12(x0+1x0)+1x0−x0−114=32x0−x02−14>32−12−14>0，
∴f(x)>x+3，
设t(x)=x+3−ln(x+4),x>−4,则t′(x)=1−1x+4=x+3x+4，
由t′(x)>0,得x>−3,由t′(x)<0，得−4<x<−3，
∴t(x)的增区间是(−3,+∞),减区间是(−4,−3)，
∴t(x)min=t(−3)=0,∴当x⩾0时,ln(x+4)<x+3，
∴当x⩾0时,f(x)>g(x).
分析：
（1）由g（x）=lnx+4，得g′（x）=1x，由导数的几何意义得曲线在（1，4）处的切线方程为y=x+3，由f′（x）=10x-ax2，且函数f（x）=5x2+ax+14（x>0）与y=x+3相切，能求出实数a的值．
（2）f（x）=5x2+1x+14（x>0），设h（x）=f（x）-（x+3）=5x2+1x-x-114，则h′（x）=10x-1x2-1=10x3-x2-1x设m（x）=10x3-x2-1，则m′（x）=30x2-2x=2x（15x-1），由此利用导数性质能证明当x≥0时，f（x）>g（x）．
