物竞小萌妹，刷程书时偶然遇到~
程稼夫力学64页2-8————被遗忘的神题（物理帝们，看看能做对吗？）
程稼夫力学64页2-8是一道被人们遗忘的神题（认为程稼夫太简单的，试试做做看？）
这是本来早该发表的，很抱歉一直拖到应用物理结束才写完……
废话少说，直接进入正题。题目是这样的：
一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动。杆最初处在水平位置，杆上距O为a处放有一小物块（视为质点），杆与其上的物体最初均处于静止状态。若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？
程稼夫给的答案是：ω≤（g/2）½（L²-a²）（- ⁴）arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）（- ⁴）arccos（2π+a/L）
他实际应该是想给：ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（2π+a/L），不过这点小错不追究了……
很明显，程稼夫是这样想的：
小物体既可能与杆在杆转π/2前相碰，又可能与杆在杆转过2π后相碰。
考虑临界状态：
转过π/2前相碰的临界状态：杆转过arccos（a/L）时物块下落距离H刚好为（L²-a²）½，如果H更大肯定能碰到，更小肯定碰不到。因此解出ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）
转过2π后相碰的临界状态：杆转过2π+arccos（a/L）时物块下落距离H刚好为（L²-a²）½，如果H更大肯定碰不到，更小肯定能碰到。因此解出ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
综上，ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
但是，我们明显能够看出这个答案有问题。
刚开始下落，物块肯定比杆沿下落方向速度小。一段位移后，物块速度可能大过杆。但当杆转动到接近π/2时，杆在物块下落方向速度接近无穷，肯定比物块大。所以，物块下落时先脱离杆再碰杆再脱离是完全有可能的
在这种情况下，我们不用考虑L的影响，因此先假设L足够大。
物块与杆相碰，位移相等：gt²/2=atan（ωt）
临界状态，此刻物块与杆在物块下落方向速度相等：gt=aω/cos²（ωt）
因此，我们得到：gt²=2atan（ωt）①
aω= gtcos²（ωt）②
这两个超越方程无论如何都避免不了，但是不会解，怎么办？大家自然想到分离三角函数：
由②得：cos²（ωt）= aω/gt
①²得：g²t⁴=4a²[1- cos²（ωt）]/ cos²（ωt）
所以：ωg²t⁴-4agt+4 a²ω=0
四次方程带字母，不会解……
保留三角函数：由①得：g²t²=2agtan（ωt）
②²得：a²ω²= g²t²cos⁴（ωt）
所以：aω²=2g cos³（ωt）sin（ωt）
整理，得：4aω²/g=sin（4ωt）+2sin（2ωt）
不管你会不会解，反正我是不会……
许多物理高手都做到这里，但是接下来都不会了，于是认为程稼夫这题出得不好，于是骂着程稼夫去做别的题了
但巨神并不满足，想到：a、g是已知字母，ω是要求的，t是要消的。但是解不出t，用t表示ω没有意义，怎么办？
巨神的做法是：把a消掉！！！
这看似荒唐，却能为我们在绝境打开一条生路。虽然a是已知量，看似消去是没有道理的，但从物理意义上考虑，消a是在求此问题模型中的与物块初始位置无关的物块与杆擦肩而过的临界角度，所以还是有道理的
可大家会说：“我怎么能看出这个角度跟初始位置a无关呢？”我也没法回答，只能说是物理意识（一大波臭鸡蛋正在接近……）
停！没有这个意识没关系，可以从做题角度考虑：之所以刚才的方程解不了，还是因为方程带已知字母。如果是数的话，我们至少能得到近似解。所以把a消掉，或许能求近似解，由此以碰碰运气的心态把a消掉……
gt²=2atan（ωt）①
aω= gtcos²（ωt）②
① 乘②，得gt²aω=2atan（ωt）gtcos²（ωt）
化简，得：ωt=sin（2ωt）
用计算器求近似值，可知ωt≈0.95
因此，ω≈0.57（g/a）½
所以ω＜0.57（g/a）½
现在考虑L是否够长。临界状态1，杆与物块在杆端点处擦过：a/L=cos（ωt）
用计算器求近似值，可知L≈1.71a
临界状态2，对任意ω恒成立：（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]=0.57（g/a）½
解得：L≈95.33a
所以，此题真正的答案为：
当L≤1.71a时，ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
当1.71a＜L＜95.33a时，ω＜0.57（g/a）½或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
当L≥95.33a时，ω任意
（另：由于（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）与ω（g/a）½在临界状态1时相切，用几何画板可轻易求得ω≈0.5680644（g/a）½……）
做完此题，一方面我们要记住：此情景下擦肩而过角度与物体初始位置无关；另一方面，我们要明白：到了绝境不要轻易放弃，很可能还有奇葩的方法能再进一步。而巨神之所以是巨神而不是普通的高手，也正是因为他具有这种到了绝境仍不肯放弃的精神
程稼夫力学64页2-8————被遗忘的神题（物理帝们，看看能做对吗？）
程稼夫力学64页2-8是一道被人们遗忘的神题（认为程稼夫太简单的，试试做做看？）
这是本来早该发表的，很抱歉一直拖到应用物理结束才写完……
废话少说，直接进入正题。题目是这样的：
一根长为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动。杆最初处在水平位置，杆上距O为a处放有一小物块（视为质点），杆与其上的物体最初均处于静止状态。若此杆突然以匀角速ω绕O轴转动，问当ω取什么值时小物体与杆可能相碰？
程稼夫给的答案是：ω≤（g/2）½（L²-a²）（- ⁴）arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）（- ⁴）arccos（2π+a/L）
他实际应该是想给：ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（2π+a/L），不过这点小错不追究了……
很明显，程稼夫是这样想的：
小物体既可能与杆在杆转π/2前相碰，又可能与杆在杆转过2π后相碰。
考虑临界状态：
转过π/2前相碰的临界状态：杆转过arccos（a/L）时物块下落距离H刚好为（L²-a²）½，如果H更大肯定能碰到，更小肯定碰不到。因此解出ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）
转过2π后相碰的临界状态：杆转过2π+arccos（a/L）时物块下落距离H刚好为（L²-a²）½，如果H更大肯定碰不到，更小肯定能碰到。因此解出ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
综上，ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
但是，我们明显能够看出这个答案有问题。
刚开始下落，物块肯定比杆沿下落方向速度小。一段位移后，物块速度可能大过杆。但当杆转动到接近π/2时，杆在物块下落方向速度接近无穷，肯定比物块大。所以，物块下落时先脱离杆再碰杆再脱离是完全有可能的
在这种情况下，我们不用考虑L的影响，因此先假设L足够大。
物块与杆相碰，位移相等：gt²/2=atan（ωt）
临界状态，此刻物块与杆在物块下落方向速度相等：gt=aω/cos²（ωt）
因此，我们得到：gt²=2atan（ωt）①
aω= gtcos²（ωt）②
这两个超越方程无论如何都避免不了，但是不会解，怎么办？大家自然想到分离三角函数：
由②得：cos²（ωt）= aω/gt
①²得：g²t⁴=4a²[1- cos²（ωt）]/ cos²（ωt）
所以：ωg²t⁴-4agt+4 a²ω=0
四次方程带字母，不会解……
保留三角函数：由①得：g²t²=2agtan（ωt）
②²得：a²ω²= g²t²cos⁴（ωt）
所以：aω²=2g cos³（ωt）sin（ωt）
整理，得：4aω²/g=sin（4ωt）+2sin（2ωt）
不管你会不会解，反正我是不会……
许多物理高手都做到这里，但是接下来都不会了，于是认为程稼夫这题出得不好，于是骂着程稼夫去做别的题了
但巨神并不满足，想到：a、g是已知字母，ω是要求的，t是要消的。但是解不出t，用t表示ω没有意义，怎么办？
巨神的做法是：把a消掉！！！
这看似荒唐，却能为我们在绝境打开一条生路。虽然a是已知量，看似消去是没有道理的，但从物理意义上考虑，消a是在求此问题模型中的与物块初始位置无关的物块与杆擦肩而过的临界角度，所以还是有道理的
可大家会说：“我怎么能看出这个角度跟初始位置a无关呢？”我也没法回答，只能说是物理意识（一大波臭鸡蛋正在接近……）
停！没有这个意识没关系，可以从做题角度考虑：之所以刚才的方程解不了，还是因为方程带已知字母。如果是数的话，我们至少能得到近似解。所以把a消掉，或许能求近似解，由此以碰碰运气的心态把a消掉……
gt²=2atan（ωt）①
aω= gtcos²（ωt）②
① 乘②，得gt²aω=2atan（ωt）gtcos²（ωt）
化简，得：ωt=sin（2ωt）
用计算器求近似值，可知ωt≈0.95
因此，ω≈0.57（g/a）½
所以ω＜0.57（g/a）½
现在考虑L是否够长。临界状态1，杆与物块在杆端点处擦过：a/L=cos（ωt）
用计算器求近似值，可知L≈1.71a
临界状态2，对任意ω恒成立：（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]=0.57（g/a）½
解得：L≈95.33a
所以，此题真正的答案为：
当L≤1.71a时，ω≤（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
当1.71a＜L＜95.33a时，ω＜0.57（g/a）½或ω≥（g/2）½（L²-a²）-¼[2π+arccos（a/L）]
当L≥95.33a时，ω任意
（另：由于（g/2）½（L²-a²）-¼arccos（a/L）与ω（g/a）½在临界状态1时相切，用几何画板可轻易求得ω≈0.5680644（g/a）½……）
做完此题，一方面我们要记住：此情景下擦肩而过角度与物体初始位置无关；另一方面，我们要明白：到了绝境不要轻易放弃，很可能还有奇葩的方法能再进一步。而巨神之所以是巨神而不是普通的高手，也正是因为他具有这种到了绝境仍不肯放弃的精神
