酉变换 Unitary Transformation酉变换是一种矩阵，也是一种操作。它作用在量子态上得到的是一个新的量子态。使用
来表达酉矩阵，[img pic_type=1 width=50 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?U^\dagger.gif[/img]表示酉矩阵的转置复共轭矩阵。二者满足运算关系[img pic_type=1 width=97 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?UU^\dagger=I.gif[/img] ，所以酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵，说明酉变换是一种可逆变换。一般酉变换在量子态上的作用是变换矩阵左乘以右矢进行计算的。 举个例子，例如一开始有一个量子态 [img pic_type=1 width=59 height=19]http://latex.codecogs.com/gif.latex?|\psi_0\rangle.gif[/img] ，经过酉变换 
之后得到[img pic_type=1 width=122 height=19]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20|\psi\rangle=U|\psi_0\rangle.gif[/img]或者也可以写为[img pic_type=1 width=128 height=21]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\langle\psi|=\langle\psi_0|U^\dagger.gif[/img]所以说两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变。[img pic_type=1 width=179 height=21]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\langle\varphi%20|\psi\rangle=\langle\varphi%20|U^\dagger%20U|\psi\rangle.gif[/img]类似地，我们也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化。[img pic_type=1 width=115 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\rho=U\rho_0U^\dagger.gif[/img]这样就连混合态的演化也包含在内了。矩阵的指数一旦我们定义了矩阵乘法，我们可以利用函数的多项式展开来定义矩阵的函数。这其中就包含矩阵的指数形式。如果A是一个矩阵，[img pic_type=1 width=283 height=41]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=1+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+....gif[/img]如果A是一个对角矩阵，
，可以容易验证[img pic_type=1 width=235 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=\text{diag}(A^n_{11},A^n_{22},A^n_{33}...).gif[/img]从而得到[img pic_type=1 width=279 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=\text{diag}(e^{A_{11}},e^{A_{22}},e^{A_{33}}...).gif[/img]如果A不是一个对角矩阵，我们利用酉变换可以将它对角化[img pic_type=1 width=118 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?D=UAU^\dagger.gif[/img]从而有[img pic_type=1 width=135 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=UD^nU^\dagger.gif[/img]那么，类似地[img pic_type=1 width=203 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=U\exp(D)U^\dagger.gif[/img]必须要引起注意的是
通常，我们称下面这种形式是以A为生成元生成的酉变换
以后会经常遇到这种矩阵的指数运算。除了上面的方法之外，你也可以利用Matlab中的expm，或者Mathematica中的MatrixExp命令进行方便地计算。单位矩阵以单位矩阵为生成元，可以构建一种特殊的酉变换。
来表达酉矩阵，[img pic_type=1 width=50 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?U^\dagger.gif[/img]表示酉矩阵的转置复共轭矩阵。二者满足运算关系[img pic_type=1 width=97 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?UU^\dagger=I.gif[/img] ，所以酉矩阵的转置复共轭矩阵也是一个酉矩阵，说明酉变换是一种可逆变换。一般酉变换在量子态上的作用是变换矩阵左乘以右矢进行计算的。 举个例子，例如一开始有一个量子态 [img pic_type=1 width=59 height=19]http://latex.codecogs.com/gif.latex?|\psi_0\rangle.gif[/img] ，经过酉变换 之后得到[img pic_type=1 width=122 height=19]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20|\psi\rangle=U|\psi_0\rangle.gif[/img]或者也可以写为[img pic_type=1 width=128 height=21]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\langle\psi|=\langle\psi_0|U^\dagger.gif[/img]所以说两个矢量的内积经过同一个酉变换之后保持不变。[img pic_type=1 width=179 height=21]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\langle\varphi%20|\psi\rangle=\langle\varphi%20|U^\dagger%20U|\psi\rangle.gif[/img]类似地，我们也可以通过酉变换表示密度矩阵的演化。[img pic_type=1 width=115 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20\rho=U\rho_0U^\dagger.gif[/img]这样就连混合态的演化也包含在内了。矩阵的指数一旦我们定义了矩阵乘法，我们可以利用函数的多项式展开来定义矩阵的函数。这其中就包含矩阵的指数形式。如果A是一个矩阵，[img pic_type=1 width=283 height=41]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=1+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+....gif[/img]如果A是一个对角矩阵， ，可以容易验证[img pic_type=1 width=235 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=\text{diag}(A^n_{11},A^n_{22},A^n_{33}...).gif[/img]从而得到[img pic_type=1 width=279 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=\text{diag}(e^{A_{11}},e^{A_{22}},e^{A_{33}}...).gif[/img]如果A不是一个对角矩阵，我们利用酉变换可以将它对角化[img pic_type=1 width=118 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?D=UAU^\dagger.gif[/img]从而有[img pic_type=1 width=135 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^n=UD^nU^\dagger.gif[/img]那么，类似地[img pic_type=1 width=203 height=20]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exp(A)=U\exp(D)U^\dagger.gif[/img]必须要引起注意的是通常，我们称下面这种形式是以A为生成元生成的酉变换以后会经常遇到这种矩阵的指数运算。除了上面的方法之外，你也可以利用Matlab中的expm，或者Mathematica中的MatrixExp命令进行方便地计算。单位矩阵以单位矩阵为生成元，可以构建一种特殊的酉变换。
