非阿贝尔群的条件好像多余了……112阶和120阶群如果阿贝尔的话一定不是单群

沒有112，120阶的单群。最小的两个非交换单群分别为A5和PSL(2,7)，阶分别为60，168

设G为112阶单群。则G有7个16阶子群，故有一个同态phi: G -> S_7。因为G是单的，这个同态是一个嵌入，所以可以视G为S_7的子群。留意到G的元素全部都是偶排列(even permutation)，因为如果G有奇排列，则偶排列在G中为指数2的子群，矛盾。故G为A_7的子群，但112不能整除2520。所以G不能为单群

设G为120阶单群，则G有6个5阶子群。用同样的方法可得一个同态phi: G -> A_6，它是一个嵌入。故在A_6中有一个指数为3的子群，所以有另一个同态pi: A_6 -> S_3，易知|ker pi| > 1，但这和A_6是单群矛盾，所以不存在120阶单群

@pisco125
再次求助
请问怎么证明144阶群和168阶群不是单群啊
144=16*9
168=8*3*7

设G为一个144阶单群，则G有16个3-sylow, 9个2-sylow。
则任意两个不同的3-sylow的交只有单位元 （证明在最后）
这样的话，我们就至少有16*8 + 16 = 144个不同的元素，但G有9个2-sylow，这明显不可能。
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假设P, Q为两个不同的3-sylow，若x非单位元，但x∈P∩Q，考虑x的中心化子C(x)。因为P,Q为9阶群，它们是abelian的，故集合C(x)包含PQ （注意到PQ未必是子群）。而|PQ| = |P| |Q| / |P ∩ Q| = 81 or 27。故|C(x)| >= 27，但C(x)为G的子群，所以[G:C(x)] <= 4，和G为单的矛盾。所以P∩Q 只有单位元。

168阶以下最棘手的情况都被楼主问了。楼主是要交作业么

不是吧