最近在读艾•兰道于1929年所著『分析基础』。读到定理4的证明时，有些疑问始终困扰着我，请各位大神赐教！我先将原文中定理4复述如下︰ 定理4(兼定义1)对每一数偶x，y，恰有一种方式可以规定一自然数称为x+y(+读为“加”)使︰1)对每一x，x+1=x’， 2)... 最近在读艾•兰道于1929年所著『分析基础』。读到定理4的证明时，有些疑问始终困扰着我，请各位大神赐教！我先将原文中定理4复述如下︰
定理4(兼定义1)对每一数偶x，y，恰有一种方式可以规定一自然数称为x+y(+读为“加”)使︰1)对每一x，x+1=x’， 2)对每一x和每一y，x+y’=(x+y)’.
证明分A)、B)两部分，在B)部分中一开始牄出一式︰当x=1，x+y=y’.从形式上看此式源于定理中的1)x+1=x’，但又有所不同︰据1)当是y+1=y’，而在这里我们并不能把1+y和y+1划上等号，因我们尚未证明「交换律」。
我曾考虐用归纳公理先证明1+y=y’，之后便可放心使用了，但又又循环论证之嫌︰为了用归纳公理说明1+y=y’，要用定理中的2)x+y’=(x+y)’，在证得了1+y=y’后证明中又用它说明x=1时2)的正确性。很明显的鸡生蛋与蛋生鸡的问题。
与此类似的还有一处︰x’+y=(x+y)’，这似乎也是在定理中2)上施加了交换律所得。
我是近期才开始读这册子的，感觉里面的语言习惯与现在还是有些差别，不知是不是我理解的问题！请大神赐教！另外，对此类公理化体系的东西的学习有没有什么建议或注意事项？谢谢大家！
定理4(兼定义1)对每一数偶x，y，恰有一种方式可以规定一自然数称为x+y(+读为“加”)使︰1)对每一x，x+1=x’， 2)对每一x和每一y，x+y’=(x+y)’.
证明分A)、B)两部分，在B)部分中一开始牄出一式︰当x=1，x+y=y’.从形式上看此式源于定理中的1)x+1=x’，但又有所不同︰据1)当是y+1=y’，而在这里我们并不能把1+y和y+1划上等号，因我们尚未证明「交换律」。
我曾考虐用归纳公理先证明1+y=y’，之后便可放心使用了，但又又循环论证之嫌︰为了用归纳公理说明1+y=y’，要用定理中的2)x+y’=(x+y)’，在证得了1+y=y’后证明中又用它说明x=1时2)的正确性。很明显的鸡生蛋与蛋生鸡的问题。
与此类似的还有一处︰x’+y=(x+y)’，这似乎也是在定理中2)上施加了交换律所得。
我是近期才开始读这册子的，感觉里面的语言习惯与现在还是有些差别，不知是不是我理解的问题！请大神赐教！另外，对此类公理化体系的东西的学习有没有什么建议或注意事项？谢谢大家！
