网上一直流传着一种奇怪的级数(如图中所示)对此的看法众说纷纭 解法更是令人大跌眼睛 支持的人说这是一个隐蔽的技巧 而反对的人则说这是不折不扣的民科

关于这个式子最常见的解释方式是通过等比级数的公式获取的 然而有稍微学过的人都知道等比级数是幂级数 它的收敛域是(-1,1)所以这种解释是错的

数学上的解释出错以后 更有人提出某种所谓的“常理解释” 说假设有一盏灯泡一开一灭那么到最后其亮度会变为原来的一半 所以这个公式成立.首先我看不出这种解释方法跟这个级数的联系在哪儿,其次早在很久以前牛爵爷就亲身体验了常理解释的错误

所以这到底是怎么回事呢,它真的是错的吗？非也，这可是英国皇家物理学院教授都在网上讲的诶

要想探究这种问题的对与错 我们首先要来看看什么叫作级数的收敛与级数的和

这是教材关于收敛和发散的原话

换而言之上面的求和方式(通常称为柯西和)是先求出部分和的数列的通项后对部分和数列求极限

但是为什么“和”只能被定义为部分和序列的极限呢？难道不能有其他定义方式吗?于是意大利数学切萨罗定义了一个新的求和方式切萨罗和(或者被称为切萨罗平均)

从数学定义的角度上看 柯西和以及萨切罗和的地位应当是平等的,又凭什么说柯西和的结果正确但萨切罗和的结果就是错的 .何况可以证明如果一个无穷级数的柯西和为b,其萨切罗和也为b

对1-1+1-....这个级数运用切萨罗求和即可得到1/2的结果

然而对于有的级数而言,切萨罗求和也无法获得收敛的值 例如1-2+3-4+....于是数学家们又提出了许多发散级数的求和方式如：广义萨切罗求和,拉马努金求和,阿贝尔求和等等

总而言之,发散级数求和并不是胡思乱想 而是特殊的求和方式 并且已经在很多领域上都有应用如物理上的弦论 数学上的求解常微分方程等 至于要理解发散级数求和背后的深刻内涵与应用需要对实分析有着深厚功底

这里重点讲一下发散级数求和在常微分方程里的应用 这里的求和方式一般是波雷尔求和 一共三种

对于一阶常系数线性非齐次方程:y’+ay=f(x),可以利用微分算子把方程写成(D+a)y=f(x)而后就有y=f(x)/(D+a),然后把1/(D+a)展开成幂级数再用波雷尔求和