讲真其实我不是特别知道我说的这个严格地说叫不叫二元关系。
先举个例子，整数集合上的“小于”关系。0<1，1<2，就认为(1,2)和(2,3)有这个关系，等等。还有一个“等于”关系。另外还可以定义另一个关系，整数和实数的“小于”关系。整数z和实数r，它们有这个关系当且仅当z<r。例如(1,3/2)有这个关系，而(1,1/2)没有这个关系。另外，(1/2,1)没有这个关系，因为第一个“元”已经超出了整数集了。也就是说，一个二元关系涉及的两个“元”可以来自不同的集合。
那么思考一个问题，什么情况下说两个关系是一样的？例如刚才说的小于关系和等于关系是不相等的，这是公认的。可以这么规定，比如R和S两个关系，当且仅当，任何的(x,y)，要么同属于R和S，要么同不属于R和S。

不过这里会发现，整数集的相等关系和整数集和实数集的相等关系，按照这个定义，似乎是相等的？是不是真的相等，其实我也不太清楚，不过这个无关紧要啦。

简单地说，两个关系相等的定义，就是，任何一个二元组，要么两个关系都有，要么两个关系都没有。

再多说一句关于二元关系吧，从集合论的角度，把所有的具有这个关系的二元组放到一个集合里，也就是说(a,b)具有这个二元关系当且仅当(a,b)属于这个集合。然后，把这个集合就叫做这个关系。注意我用的是“就叫做”这个词！其实也挺合理的，毕竟一个关系完全由“哪些元素有这个关系”决定。

映射，是一个特殊的关系。一个关系什么时候称为一个映射？是这么定义的，对任意a,b,c，如果(a,b)有这个关系，(a,c)也有这个关系，那么b=c。其实严格的定义里还有一条，不过这里可以先不考虑那一条，因为跟这个关系的两个“元”的集合有关，这里我们先不考虑这两个集合是什么。
“映射”有什么意义呢？根据映射的定义，对任何一个a（当然要确定a能出现在某个有这个关系的二元组的左侧，这时说a在定义域内），都能确定唯一一个b，让(a,b)有这个关系。重点是唯一。这时候就可以说，这个映射把a映成b。因为只要a确定了，b就是唯一的。

注意哦，我没有说过二元组里的两个“元”都是“数”哦！甚至，它可以也是二元组呢！比如((7,4),3/8)也是一个二元组。

标题不完整最后一句是，什么是二元运算。

二元运算跟二元关系，名字挺像的，但实际上，二元运算跟映射的关系更密切。二元运算是一种特殊的映射，每一个具有这种二元关系的二元组，它的左部是二元组！先举个例子，整数乘法是一个二元运算，2*3=6，所以((2,3),6)具有这个关系。整数乘法本质上也是一个映射，把整数二元组映射为整数。应该可以理解运算是个什么东西了。