相对论动量和能量的一个推导
首先做如下假设：
①能量定义为E＝∫（dp／dt）dx＝∫vdp
②当速度v＜＜c时，物理定律回归到牛顿定律
把力带入到闵氏线元 ds²＝－（cdt）²＋dx²得
－（dp／dt）²（cdt）²＋（dp／dt）²dx²＝（dp／dt）²ds²
既 －（cdp）²＋dE²＝（dp／dt）²ds²
对于一段时间不受力的质点，有 dp／dt＝0
从而有 －（cdp）²＋dE²＝0
从而可推出关系式 －（cp）²＋E²＝k²（k²为积分常数）
关于动量p求导得 －2c²p＋2Ev＝0
既 E＝c²p／v
带入关系式得 p²c²（－1＋c²／v²）＝k²
解得 p＝kv／［c²√（1－v²／c²）］
由于当v＜＜c时 p≈mv≈kv／c²
从而有 k＝mc²（可以看到假设②不是必须的，我们实质上可以把k视做物体的质量）
最终得到 －（cp）²＋E²＝m²c⁴
p＝mv／√（1－v²／c²）
E＝mc²／√（1－v²／c²）
由结果出发的简单计算表明，如果我们要求对于一个物理过程，在每个参考系看来都满足动量守恒定律，那么能量守恒也必须被满足。由此看来，动量守恒和能量守恒实质上是一个定律。
这个推导的优点是不像大多数物理教材一样通过考虑完全非弹性碰撞来推导，不借助特殊模型及碰撞中动质量守恒的假定，而且也不借助任何电动力学定律。