先说说下面要讨论的映射是基于哪两个集合的映射。为了方便起见只讨论非负的实数，管这个集合叫S。另外，讨论“正整数.0到9的无穷序列”，就是我们通常说的“小数”，分为整数部分和小数部分，而小数部分总可以写成一个无穷序列，如果是有限小数，就认为这个序列某一项开始全为0。由所有这一形式的“东西”构成的集合称为D。下面研究的映射就是这两个集合之间的。

首先，研究一个简单的映射，由D到S的映射。怎么映射呢？首先完成小数部分那个无穷序列的映射。假设这个序列是a1,a2,……，考虑一个极限式：n趋于无穷时，a1/10^1+a2/10^2+……+an/10^n这个极限。由数学分析里的结论容易得到，这个极限存在，并且极限值是[0,1]之间的实数。然后就可以定义，这个映射将D内每个元素映射为这个极限值加上它的整数部分。显然，得到的结果是一个非负实数。

显然，这个映射可以将D内每个元素都映射为S中的元素。那么它是不是单射？是不是满射？首先，它不是单射，因为1.000000……和0.999999……会被映射到同一个数，就是1。然后，它是不是满射？是的，不过我没有证明过。

事实上我们通常看到一个小数然后把它对应到实数的时候，我们大脑中自动反应出的那个对应关系，其实跟这个映射就是相等的。注意，我用的是“相等”，而不是“就是”，因为我们大脑中不一定去想这是一个极限式。不过只要知道它们相等就可以了，不纠结这个问题。

另外注意一个问题，如果是有限小数，那么不需要极限的概念就能将“正小数”映射为正实数，而且这时候在某种意义下，这是一个单射。例如，24.22这个数，将小数映射为2/10+2/100，就完成了这个映射，并没有涉及到极限。

好了，下面再考虑另一个映射，刚才那个是从D到S的映射，下面这个映射是从S到D的映射，它的映射规则嘛，我准备用一个例子。如pi这个正实数，它在[3,4)之间，就定义它映射到的那个元素的小数点前的正整数为3。之后的序列呢，则取pi-3，也就是小数部分，它位于[0,1)之间。首先，它位于[0.1,0.2)之间，所以定义序列第1位是1。这里注意一个问题，0.1和0.2，要把它对应为真正的实数才能进行比较，现在有的只是一个“小数”，因此，这里定义，先用刚才说的那种映射把0.1和0.2映射到实数。刚才说了，有限小数的映射是很容易的，算几个加法和乘除法就出来了，因此这一步不难。第1位是1，确定了，好，第2位。这个数位于[0.14,0.15)之间，就定义第2位是4。后面的位也是以此类推，显然，不管你想做多少位，都能做出来，因此这个序列是存在的。正整数确定了，序列确定了，映射到的D元素，也就确定了。这个定义就算是完成了。

同样的，讨论这个映射是不是单射？是不是满射？同样根据数学分析理论，可以证明，它是一个单射。证明简单说一下，如果两个实数不相等，一定会存在某个有限小数，一个大于它，一个不大于它，这个应该可以用稠密性推出来。所以，那个序列在这一位就会出现不同。然后呢，它不是满射，比如没有任何一个实数会映射到0.999999……同样的简单说说，假设有一个数映射到0.999999……先强调一遍，这里说的0.999999……不是真的指0.999999……这个小数了，而是指D中的正整数为0，序列为全9的这个元素！假设某个实数映射成了0.999999……，那么按照定义这个数首先位于[0,1)之间，然后它大于0.9，大于0.99，大于0.999，反正是比每一个这种形式的数都大。然后，这可以推出这个数不小于1的！这就矛盾了。所以0.999999……并不在值域中。同理，所有的从某一位开始全为9的D中的元素都不在值域中。

再说说前面定义的这两个映射有什么关系。假设第一个映射是f，第二个是g。应该可以证明，对S中的任何元素s，有f(g(s))=s。我没有去证明过，不过我相信它是对的。这样一来，它们很像一个逆映射的关系，但是g这个映射在D内有很多空白点，没有被映射到。在映射到的这些点，用f这个映射都能映回原来的点，同时，f还把那些空白点也映到了S中，当然，f把别的元素也会映射到同一个点中。换句话说，如果把D中的“空白点”，也就是没有被g映射到的点，把它们去掉，称为E，那么f就是E到S的一个双射，g则是S到E的双射，且f和g互为逆映射。

问题在于，用g这个映射的话，0.999999……这样的数就处于一个空白点，因为没有一个实数用g映射能映射到它。我想，0.999999……到底等不等于1这个问题能引起这么激烈的争论，原因就在于后面全是9的序列实在是不容易找到一个很明显的实数来“显然”地跟它对应。当然，事实上你也找不到，因为本来就没有。
那么0.999999……到底等于几？数学界公认的规定，是等于1。这里就真的是规定让它等于几都行了，因为g定义覆盖不到它，如果要定义，就只能特殊定义。然后定义为几呢？其实不管从哪个角度，定义为1都还算是合理的，比如f映射把它映射为1就是一个有力的理由。并且，如果真的很喜欢g的定义，那么希望让它真的能等于一个大于0.9，大于0.99，大于0.999，……这样的数，前面说过，满足这个条件的数一定不小于1，那么如果不定义为1，似乎就应该定义为一个大于1的数，好像还不如定义为1，毕竟0.999999……看起来就不像一个大于1的数。