在开始这个话题本身之前，对于一些同学而言，可能先需要稍微补一下关于光量子方面的知识。
首先，光量子的能量，是和其频率绑定的，符合 E=hv，就是说，改变光的频率，改变的是每个单个光子的能量。
由于“光子”这个词太多被提及了，以至于很多人只从经典粒子模型去思考，这容易诞生错误的认知。
从一般的经典模型思考，去改变光源的频率，似乎应当是影响其发射光子的速率更加理所当然，而发射光子的速率影响光子的密度而不是单个粒子的频率。
可是从光电效应开始的一系列实验都告诉大家，这一切弄反了，光量子的密度，需要被描述为波的振辐而不是频率。

图1。

频率和时间相关，那么如果通过时空图去描述频率这东西，我能想到的方法，就是依确定的时间间隔画一系列的光锥出来。
图1表现的其实是光源的频率，但如果你把每个光锥理解为某一经典粒子的实在轨迹，则图里光锥的密度就得表达为单位时空内光子数量的大小，这显然和我们要说的频率无关。
因此在有时间要素的图里，把光视为波动而不是粒子，相临的两条光锥线视为一个振动周期的边界，才更接近事实。
话题扯远了，关于光量子其实只需要知道单量子的频率即能量，就可以开始进入问题本身了。

问题描述：（注意，本描述自身即存在问题，后解）
两相对行驶的飞船 A B 有相对速度 v ，其中 A 的静质量为 mA，其向两者速度的“垂直方向”上发射一高能光子 P，能量为 eP。
因质能等价，飞船 A 可认为总体质量有一个损失为 mP，质量损失率 R = mP/mA。
（这个损失率还可以这么看，就是如果飞船 A 持续辐射相同能量的光子，则 1/R 次后，整个飞船就会被蒸发掉。具体细节不谈，管他是不是用什么正反物质。）
但飞船 B 怎么看呢？
因为两者有一个相对速度，则对于 B 而言，A 存在一个质量膨胀效应，因子 ，因此 A 动质量为 mA*γ。
另一方面，B 应该同样可以预期 A 发射出的光子 P，能量经历了膨胀，为 eP*γ， 即飞船质量损失为 mP*γ。
因为等比例，B 可以同意 A 关于质量损失率的计算，即最多只能辐射 1/R 次。
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然而 B 转念又一想，同因为相对论效应，A 的时间变慢了，因子为 1/γ。那么在 A 看来频率为 f 的光子 P，应和其同步 f'=f/γ，即频率应该是降低了。
按照之前我们说的，光量子的能量计算，eP'=hf/γ，因此在 B 看来这个能量应该是降低而不是升高了，该光子导致损失的质量也就变成了 mP/γ。
那么坏了。如果这种说法是对的，能辐射的次数在 B 看来岂不是变多了（γ*γ/R）？
一面说质量膨胀能量是提高，一面说时间变慢能量是下降，这个因子的作用在两个说法里被倒转了。

图2。需要先尴尬一会儿么？

初步提示，这个问题除质能转换外，和标题一样，它和红移（&蓝移）有关。
当你迎向光源，或光源迎向你时，你看到的光速不变，但你观察到的光频率却会提高，反之光源远离你的过程中，频率会下降。
这一般意义上属于经典多普勒效应范畴。
而题中 B 思考的另一个问题，则被称作“横向多普勒”效应，是相对论效应所带来的副产品之一。

此题描述有问题，由题意，系统原来在竖直方向没有动量，但反射光子后，竖直方向就有了动量，说明必有外界动量能量输入，因此光子能量不能以物体质量损耗为依据。

下面首先拆解一下问题描述本身中存在的问题。
关键有三点。
一是，原问题内没有考虑动量守恒。
因辐射的光子带有动量，而且和相对速度方向即 A-B径向不同，因此在辐射前和辐射后，飞船速度方向会有变化并带来动量-能量变化，这个变化尽管可能十分微小，但我们要计算的比值本身就十分微小，不可忽略。
因此，为避免过于增加复杂度，我们应该始终假设飞船A 总是会同时向【两个相反的方向】辐射等能量的光子，以保持船身不经历加减速。
注意，是 A 视角下的反方向。
二是，所谓“横向”的概念，不会在 A/B 两个系统中统一，它的含义是，光子在 A-B 径向上的速度分量为 0。
显然，飞船A 描述自己“静止”，对于飞船A 而言的该分量为 0 时，对 B 就不会为 0。

图3，满足“A横向”的光子辐射，B系观察者
另一种情况，某一边光子对于B 速度分量为 0 时，A 和该光子就在 A-B 径向上有了相对速度 -v。但不允许两个光子都顺着 B 的方向，在 B 系算 A 的动量守恒可不是这么简单的。

图4，满足“B横向”的光子辐射（右侧光子），A系观察者
此图如转换为 B系观察者很有意思，先各自试着画一下，也许后面我会补一张。
三是，只要是和 B 有A-B 径向上速度差的光子，都必须先计算经典多普勒效应。
前面说过，光源接近则蓝移，远离则红移。而除了图4 右光子 的情形，光源在光路方向上和 B 都是有不为 0 的速度分量的。
这点需要大家以 A/B两个参考系角度，仔细地，分析运动过程，动图我就不做了。

下面是具体计算时间了。
在物理的世界里讨论很多问题，其实并不能先定性再定量，甚至很多时候都相反，通过定量计算，才能得出很多定性的结论来。不动数学，简直寸步难行。
因为表面上看起来，质量膨胀是相对论因子，时钟变慢是相对论因子，但经典多普勒效应和相对论却没什么直接联系，难道它能让倒转的因子回归正途？
我们要计算的就是，在考虑了经典多普勒（光源位移） 和 横向多普勒（钟慢） 两种效应后，A/B 关于辐射多少次能把飞船A 蒸发掉的看法，是否能够在任何情况下严格达成一致。
计算也要分两种情况来进行。
首先我们计算相对简单的第一种，即“A横向”的情况，此情况下两个光子对 B 而言，在 A-B 径向上都有速度 v，有一致的频移量，只计算其一即可。
根据经典多普勒效应公式观测者不动的前提下，对于有速度 v 的光源，蓝移一端频移因子为 c / (c-v) 而红移一端为 c / (c+v)。不过这只是一维情况下的公式。
在我们的问题下，光子行进路线和光源速度方向存在一个角度。

图5。

光子频移对于 B 的整个共动观测系统来说，结论都应该是一致的。因此图上无论 B在哪里都无所谓，决定该频移量的，是在光子行进方向上，光源的速度分量。
为避免混淆，我们用 u 来代替该分量，即 f'=f*c/(c-u)。
经过简单的三角函数变换，我们可以得到 |u|=v^2/c

图6。

这个题实际上是既要考虑多谱勒效应，也要考虑光行差效应。

考虑红移(-)/蓝移(+)的符号差别，应该找一个更通用的公式，某种程度上也更直观。在图5上原频方向定义为 Ɵ=0，蓝移端为正角，速度方向为正

图7。正弦角
则
而本论题中 sinƟ = v / c，
于是最终我们得到的都是

常用洛伦兹变换的同学看到是不是眼熟了？没错，经典蓝移导致的频率提高系数，是洛伦兹因子的平方！
这时再用它处理时间减慢因子，也就是横向多普勒的，刚好倒转了该因子，得到了整体频移系数，完美符合质量膨胀。
于是回头看看，可以发现光的经典多普勒效应，居然也是可以推导出洛伦兹因子的。而再深入想想，这可能是废话，一直说的所谓的“经典”多普勒，其实不也正由从光速不变导致的么？由光速不变推出洛因子不是再正常不过的事么~
总结一下此节计算，并没有多余的东西，经典多普勒频移系数* 横向多普勒红移系数 = 相对论频移系数。
两个效应应该说是一个整体，缺一不可。

楼主的计算有点意思。

再来看看“B横向”情形的计算。
回图4。A系“斜向”相对发射的两个光子，在 B 系看来是个什么状况呢？
首先，右侧光子可以肯定是“横”着来的，这是要求，即A-B 径向上速度分量为 0，但计算前小心另一边，左侧的光子相对 B，可不是 2v。
我们需要对 A系的速度做一次相对论速度变换，（此变换其实也可以应用到前面的计算中，只不过 u=0 结果没什么变化就是了）。
右侧光子因 u=-v 而得到0，左侧光子则得到。

图8，满足“B横向”的光子辐射（右侧光子），B系观察者
t 时间后，左右光子和飞船在 B 观察下并不在一条线上，这是和左右两侧能量-动量差异合拍的。（当然也是两系的同时性不同造成的）