先给出此问题的正式描述：对于一元n次多项式，若对任意a≦x≦b，都有≧0或≦0（注意这里的f'(x)是形式导数，完全用不着高等数学！），则对任意a≦x_1≦x_2≦b，都有f(x_2)≧或≦f(x_1)。

由于f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)g(x_1,x_2)，其中（其实追求完美的话k=1应该改成k=0，不过为了可读性就算了），原问题可以简化成如下的等价问题：若f'(x)在区间[x_1,x_2]里同号（本文里所有的同号均指闭区间，即包含等于0的情况），则g(x_1,x_2)也是这个号。
这个问题初等的证明，我只想到一种方法：在[x_1,x_2]里找出一些x，计算出g(x_1,x_2)是这些f'(x)的线性组合（当然，系数要全部≧0）。

在开始阐述正式的证明之前，照例是先把要用到的引理讲清楚了。首先定义，这是比传统的组合数记号更好的记号，之后会详细解释。
引理1：对自然数m、s、t，定义函数，则。
证明：直接计算可得当m>0时，然后对m来个归纳即可。

为什么说这个问题是我现在几乎所有研究的起源。第一，上面的引理1让我对组合恒等式的地位有了认识，在我的很多研究中，它就是硬工具，我在搞其它研究之前最好先把这个技能点加上，进而引发了我对整个组合数体系的兴趣。对组合数的研究是我现在最大的一个课题，具体的因为太庞大在这里根本说不完，在可见的将来一段时间内也不会开任何的贴子。仅举一例，此贴我还在混用传统的组合数记号，实际上(-1)^j·C_m^j在我给出的新的记号里可以直接合并成一个组合数，只不过有的变元为负，在这个贴子里我就懒得去解释了。
第二是引出了关于代数数的研究，后面就可以看到。
对组合数的研究又引出了线性递推数列的领域。至此，我现在的数学研究的三大扛把子：组合数、递推数列、代数数，都是由这个起源问题引申出来的。

现在，我们选择一些(c_i,λ_i)组，满足对所有自然数m<n（这里下标只有一个i就是指暂时还没有限定这些组的个数），则由引理1，可以验证对任意0≦m≦k<n。

于是，我们选出λ_i x_1+(1-λ_i)x_2这样的点，配上系数c_i，就得到了。
剩下的任务，就是找到满足（0≦m<n）条件的(c_i,λ_i)，并且还需要满足c_i≧0，0≦λ_i≦1的限制。

b_0~b_r作为方程的系数，可以先随便钦定其中一个的值，之后这个方程组有r个变元、r个方程，在非奇异情况下应当有唯一解。实际上这个方程组的解我当时是在观察了r较小的规律后猜出来的，为。
当然上述过程都是必要性的推导，但是可以看到这些都是变元数等于方程数的非奇异的情况，所以充分性应该可以板上钉钉地推回去。唯一麻烦的在于证明b_k=(-1)^k·C(k,k,r-k)确实是原方程组的解这个组合恒等式，我还没有证出来。
上面这些结论都是明摆着的东西，只要肯花点时间就能证出来。而我当时已经顾不上这些了，因为我要处理更大的、也是真正的麻烦：证明这样的λ_i确实是[0,1]内的实数解，以及这样的c_i≧0。

这个问题我的进展就到此为止了。我当时就卡在了这些范围的证明这里，虽然也取得了一丁点进展，但离解决还差得远。最重要的是，问题搞到这里的时候，我已经意识到了初等对称多项式与代数数这个广阔的领域，再加上之前组合数的领域，使得我直接开启了这几个巨大的坑，原来的这个问题就被无限期的搁置了。
还是说下当时关于这个证明具体的情况。我需要证明方程b_0+b_1x+…+b_rx^r=0在[0,1]之间有r个实数根，而我当时的办法只有一个：利用连续性定理（即若f(a)≧0，f(b)≦0，则a~b之间必有实数根）。这样的话，我就要在0~1之间找(r-1)个点，证明它们的函数值分别<0,>0,…。这些点大概不是简简单单找几个有理数就能凑出来，据我当时的研究，可能这些点要递归到一个(r-1)次方程的根。。。这一步证明之后，还要证明与之相配的c_i≧0。c_i倒是可以写成λ_i的有理式，这样归根结底还是λ_i的范围问题，而且更精确了，在[0,1]内划出了很多个小区间。。
除此之外，还出现了戏剧性的一点：连续性定理是高等数学的范围，也就是说，即使上面的证明成了，本质上还是高等数学的证明！实际上照这样想的话，甚至是像√2这种无理数的存在性，本质也是高等数学范围里的东西。意识到这一点，也是我当时弃坑的一个重要原因。

当然，前面证明有个地方是可以放松下的：(c_i,λ_i)的个数r可以是任意多个，不一定非要卡死在⌊n/2⌋个。把这个限制放宽过后，c_i跟λ_i都可以取成有理数，这样整个证明就真的是彻底的初等证明了。这是另外一条有可能成功的路，因为c_i跟λ_i的值有可能通过选取特别好的一个数列“凑”出来。这几天我粗略试了几个，没有成功，其中一个是λ_i取[0,1]上的均分点（包含0,1），这样c_i是著名的Cotesian数列——刚好为负！
另外，由于知识的增长，现在证明b_0+b_1x+…+b_rx^r=0的r个根全部落在实数区间[0,1]里我也想到了另外一种办法：显然该方程在x≦0时无解，再由对称性它在x≧1时也无解，因此我只需要证它的r个根全是实数即可——而后者（方程全实根的判定）很可能是个已有的结论。我这几天去查一下。

刚刚看了一下Discriminant（即方程全实根的判定），头疼，它只能判方程的复根个数是单偶还是双偶。那这个问题暂时就到此为止吧，日后有时间再试着来搞。

网页链接
搜了一下，好像这个能解决判定方程全实根的问题。
有时间玩玩。