微元法介绍

例题1弹性势能问题：水平放置的弹簧，原来静止，现在我缓慢地拉，使其伸长X。大家说：此时弹簧的势能是
E=(1/2)kX^2..............(1)
我们就从这个例子开始吧。
一）微元是什么东东？
上式表明，势能E是伸长量x的函数，具体说就是E=(1/2)kx^2,如果让弹簧从x伸长到(x+Δx)，弹簧的势能增量
ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+(Δx)^2....(2)
上式说明：势能增量可以分为两部分，我们关心第一部分，这部分有下面两个特点：
1）与Δx（自变量增量）成正比例
2）当Δx→0时，（2）式左边及右边两项都趋向零，都是无穷小量。但是主要部分在第一项，其余部分是高级无穷小。
所谓高级无穷小是指：如果大家都用Δx除，第一部分剩下kx,不是无穷小，其余部分还剩下Δx,还是无穷小。
具备上述两个特征的部分称为函数E=E(x)的微分，记为dE.即
dE=kxdx（对自变量，微分与增量一样，即Δx=dx)
dE数学上称为微分，物理上称为微元。所谓微元法就是先寻找函数的微分，求出这个函数或这个函数在某点的值。

二）如何找微元？
翻开初中课本，从初中课本找（不要从高中课本找）
实例1）弹性势能。初中我学过：力做功的公式是FS因此
dE=kxdx:.
说明：我也知道外力做功后果是势能增加，我就知道恒力做功FS，现在F就是kx；S就是dx。由此得到dE=kxdx
实例2）初速为零的物体自由下落，写出位移的微元dx
规定向下为正，这是一个匀加速运动问题加速度a=g=常量。
我没上过高中，加速度我不会，但是速度我会，你告诉我吧：t时刻的速度怎么求？即v(t)=gt你应该告诉我，这样我就会了
dx=gtdt.

上面几个实例说明：找微元（微分）并不难，基本办法就是：以不变代替变，以直代替曲即可得到微元。说的更难听点就是用初中代替高中就能得到微元。
真正难点是什么？难在找到微元后大家不知道怎么办！规矩说：找到微元后就是积分，即可得到结果，但是大纲中规定不考积分，于是你找到微元后只能用初等办法，慢慢求和，这里涉及的数学技巧比较多，这才是真正的难点。

恩，貌似经典，实则经典。
要仔细看看~

更正：楼上血色の寂宁吧友提出，下式有误，最后一项前面应有1/2，这个提法是对的。
ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+(Δx)^2....(2)
即原来的（2）式硬更正为:
ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+(1/2)(Δx)^2....(2)

作为检验自己是否掌握微元法的判据，建议大家自己证明下面命题：
---------------------------------------无限长均匀带电直线
...................↑
....................R
...................↓
...................O
证明：O点电场强度与以O为中心R为半径的(上)半圆在O点的场强相等。（当然电荷线密度相同）
这题目是一些竞赛参考书上的题目，咱们不看书，要自己证出来才算数。

老师 我的错 你弄的例题我没做出来 你做一下示范吧

直接微积分
我一看更更上的这玩意
就直接跳过

看不懂啊 ……电学还没自学完呢……
无限长均匀带电直线有什么性质？
还有那个虚线是什么？
R是怎么出来的 ？

我也觉得用微积分好一点 不过话说回来 目前的竞赛所用的微元其实比微积分烦不了多少 不过我学的时候也不怎么看得懂 然后就去学微积分了 可以说微元还是促使大家学简单的高数的动力呢

--------------------A-----M-----N-------无限长均匀带电直线
...................↑...M'....P
....................R.......N'
...................↓
...................O
令∠MON=∠M'ON'=dθ，过M作MP⊥0N,此时ΔMOP,MPN都是直角三角形。∠NMP=∠MOA=θ。(为什么?回答是:微元法).
有要事,等会再说.

我们要证明的等式是
kρds/R^2=kρdL/r^2
左边=kρdθ/R
右边=kρdL'/r^2*(cosθ）=kρdL'/rR=kρdθ/R。
过程中除了用到一些几何关系外，还用到一些微元法的知识，例如MP/r=dθ等。

我觉得本帖最有用的是这部分：
一）微元是什么东东？
上式表明，势能E是伸长量x的函数，具体说就是E=(1/2)kx^2,如果让弹簧从x伸长到(x+Δx)，弹簧的势能增量
ΔE=(1/2)k(x+Δx)^2-(1/2)kx^2=kx*Δx+(Δx)^2....(2)
上式说明：势能增量可以分为两部分，我们关心第一部分，这部分有下面两个特点：
1）与Δx（自变量增量）成正比例
2）当Δx→0时，（2）式左边及右边两项都趋向零，都是无穷小量。但是主要部分在第一项，其余部分是高级无穷小。
所谓高级无穷小是指：如果大家都用Δx除，第一部分剩下kx,不是无穷小，其余部分还剩下Δx,还是无穷小。
具备上述两个特征的部分称为函数E=E(x)的微分，记为dE.即
dE=kxdx（对自变量，微分与增量一样，即Δx=dx)
dE数学上称为微分，物理上称为微元。所谓微元法就是先寻找函数的微分，求出这个函数或这个函数在某点的值。

知道了高级无穷小，以后做这类题，该把什么和谐掉，就一目了然了。