陶神在这里独辟蹊径，采用了与一般实分析里面不同的定义。其实这里的定义在其他书里面称作sequential compactness，而真正常见的compactness其实是后面的Thm 1.5.8，虽然在metric space中这两个定义可以证明是等价的，但是陶神这里的处理显然不能让我信服，并不是每个与众不同都是好的。比如，陶神前面关于黎曼积分的处理就非常漂亮，与一般数分书籍处理完全不同，这种用piecewise costant function的方法初看没那么直观，但是却和后续勒贝格积分的学习一脉相承，非常棒。但是这里搞个与众不同compact定义完全看不懂了，首先compactness其实可以看成next best thing to be finite，为什么任意开覆盖存在有限子覆盖如此重要？有了这个性质，我们就可以把无穷转换到有限个覆盖来研究，有限个多么好的东西，最大最小都可以取到，所以可以发现数分很多证明都是把无限转换到有限覆盖上研究，这也是compactness的意义，而且后续课程topology中compact性质也是这样定义的，可以说一脉相承。
这里搞个sequential compact定义当作compact定义感觉有点本末倒置了，完全不可取，个人意见，仅供参考