1 代数方程的可解性与群的发现
　　我们曾在前面讲过,中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问.直到19世纪初,代数学研究仍未超出这个范围.不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上.我们知道,二次方程的解法古巴比伦人就已掌握.在中世纪,阿拉伯数学家又将二次方程的理论系统化.而三,四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得解决.接下来,数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二,三,四次方程一样来求解,也就是说对于形如
xn+a1xn-1+…an=0
(其中n≥5)的代数方程,它的解能否通过只对方程的系数作加,减,乘,除和求正整数次方根等运算的公式得到呢 在解出三,四次方程后的整整两个半世纪内,很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性.但是所有寻求这种解法的努力都失败了.历史上,第一个明确宣布"不可能用根式解四次以上方程"的数学家是拉格朗日.拉格朗日在1770年发表的《关于代数方程解的思考》一文,讨论了在他之前人们所熟知的解二,三,四次方程的一切解法,并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次及更高次方程是不可能发生的(参见7.3).拉格朗日试图得出这种不可能性的证明,然而经过顽强的努力(他的论文长达200页)之后,拉格朗日不得不坦言这个问题"好像是在向人类的智慧挑战".
　　迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个多世纪,来自挪威的一位年青人.1824年,年仅22岁的数学家阿贝尔(N. H. Abel,1802—1829)自费出版了一本小册子《论代数方程,证明一般五次方程的不可解性》,在其中严格证明了以下事实:如果方程的次数,n≥5,并且系数a1,a2,…,an,看成是字母,那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根.这样,五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔解决了.他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程,其中的一类现在被称为"阿贝尔方程".在这一工作中,他实际上引进了"域"(field)这一重要的近世代数概念,虽然他没有这样来称呼.

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　　伽罗瓦的数学研究,就是在这种激烈的动荡和遭受种种打击的情况下利用极为有限的时间进行的.伽罗瓦生前曾三次向法国科学院递交他关于代数方程的论文.第一次论文被柯西丢失,第二次因负责审理的科学院秘书傅里叶病逝而下落不明,第三次则被泊松认为"不可理解"而打入冷宫.在决斗前夜,伽罗瓦通宵达旦整理自己的数学手稿,并在遗书中坚信"最终会有人发现,将这堆东西解释清楚对他们是有益的".他去世以后十四年(1846),法国数学家刘维尔在其主编的《数学杂志》上首次发表了伽罗瓦的两篇遗作,伽罗瓦工作的意义才逐渐为人认识.伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端.这不只是因为它解决了方程根式可解这样一个难题,更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象,内容和方法上的深刻变革.19世纪后半叶,数学家们又认识到,"群"可以是一个更加普遍的概念,而不必仅限于置换群.凯莱(A. Cayley)在1849—1854年间指出矩阵在乘法下,四元数在加法下(见8.2)都构成群.人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类f=ax2+2bxy+cy2(a,b,c为整数,x,y取整数值,D=b2—ac取固定值)对于型的合成运算也构成群.1868—1869年间,若尔当(C. Jordan)在物理学家布拉维斯(A. Bravais)关于运动群的理论的启发下开展了无限群(即有无限多个元素的群)的系统研究.若尔当的工作又影响克莱因(F. Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究(参见9.5).1874—1883年间,挪威数学家李(S. Lie,1842—1899)又研究了无限连续变换群(李群).到19世纪80年代,关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念.经过抽象定义的群,可以理解为一类对象的集合,这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系,这种运算(不妨称它为乘法,用·表示)
满足如下的性质:
1.封闭性:集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合;
2.结合性:对于集合中任意三个元素a,b,c,满足结合律
(a·b)·c=a·(b·c);
3.存在单位元I,使对该集合中任意元素a,有I·a=a·I=a;
4.对该集合中任意元素a,存在唯一的逆元素a-1,使得
a·b-1=a-1·=I.
　　这种定义,在19世纪末已得到公认.在这样定义的群中,集合元素本身的具体内容无关紧要,关键是联系这些元素的运算关系.这样建立起来的一般群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具.事实上,在19世纪末,群论已被应用于晶体结构的研究,在现代物理中,群论更成为研究基本粒子,量子力学的有力武器.
　　代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生.它不再仅仅是研究代数方程,而更多地是研究各种抽象的"对象"的运算关系,19世纪中叶以后,这种抽象的"对象"层出不穷,从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础.

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　　伽罗瓦的数学研究,就是在这种激烈的动荡和遭受种种打击的情况下利用极为有限的时间进行的.伽罗瓦生前曾三次向法国科学院递交他关于代数方程的论文.第一次论文被柯西丢失,第二次因负责审理的科学院秘书傅里叶病逝而下落不明,第三次则被泊松认为"不可理解"而打入冷宫.在决斗前夜,伽罗瓦通宵达旦整理自己的数学手稿,并在遗书中坚信"最终会有人发现,将这堆东西解释清楚对他们是有益的".他去世以后十四年(1846),法国数学家刘维尔在其主编的《数学杂志》上首次发表了伽罗瓦的两篇遗作,伽罗瓦工作的意义才逐渐为人认识.伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端.这不只是因为它解决了方程根式可解这样一个难题,更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象,内容和方法上的深刻变革.19世纪后半叶,数学家们又认识到,"群"可以是一个更加普遍的概念,而不必仅限于置换群.凯莱(A. Cayley)在1849—1854年间指出矩阵在乘法下,四元数在加法下(见8.2)都构成群.人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类f=ax2+2bxy+cy2(a,b,c为整数,x,y取整数值,D=b2—ac取固定值)对于型的合成运算也构成群.1868—1869年间,若尔当(C. Jordan)在物理学家布拉维斯(A. Bravais)关于运动群的理论的启发下开展了无限群(即有无限多个元素的群)的系统研究.若尔当的工作又影响克莱因(F. Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究(参见9.5).1874—1883年间,挪威数学家李(S. Lie,1842—1899)又研究了无限连续变换群(李群).到19世纪80年代,关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念.经过抽象定义的群,可以理解为一类对象的集合,这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系,这种运算(不妨称它为乘法,用·表示)
满足如下的性质:
1.封闭性:集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合;
2.结合性:对于集合中任意三个元素a,b,c,满足结合律
(a·b)·c=a·(b·c);
3.存在单位元I,使对该集合中任意元素a,有I·a=a·I=a;
4.对该集合中任意元素a,存在唯一的逆元素a-1,使得
a·b-1=a-1·=I.
　　这种定义,在19世纪末已得到公认.在这样定义的群中,集合元素本身的具体内容无关紧要,关键是联系这些元素的运算关系.这样建立起来的一般群论是描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具.事实上,在19世纪末,群论已被应用于晶体结构的研究,在现代物理中,群论更成为研究基本粒子,量子力学的有力武器.
　　代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生.它不再仅仅是研究代数方程,而更多地是研究各种抽象的"对象"的运算关系,19世纪中叶以后,这种抽象的"对象"层出不穷,从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础.

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　　关于四元数的发现.哈密顿本人后来曾作过这样一个生动的描述:
"明天是四元数的第15个生日.1843年10月16日,当我和哈密顿太太步行去都柏林途中来到勃洛翰桥的时候,它们就来到了人世间,或女说出生了,发育成熟了.这就是说,此时此地我感到思想的电路接通了,而从中落下的火花就是i,j,k之间的基本方程,恰恰就是我后来使用它们的那个样子.我当场抽出笔记本(它还保存着),将这些思想记录下来.与此同时,我感到也许值得花上未来的至少10年或许15年的劳动.但当时已完全可以兑,我感到一个问题就在那一刻已经解决了,智力该缓口气了,它已经纠缠着我至少15年了."据说,他当时还取出.随身带的一把小刀,将四元数所满足的规律刻在了那座桥的石栏上.
　　在哈密顿之后,各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来.事实上,就在哈密顿建立四元数时,一位德国数学家格拉斯曼(H. G. Grassmann)也在对复数作出推广.与哈密顿相比,格拉斯曼的推广更为大胆.1841年,也就是哈密顿宣布发现四元数的第2年,格拉斯曼出版了他的《线性扩张论》.但由于他把神秘的教义和本来就抽象难懂的数学内容揉合在一起,再加上语言晦涩,所以这本书影响很小.直到1862年,格拉斯曼对他的书作了修订,简化,他的理论的独创性才逐渐为人所知.
　　格拉斯曼实际上涉及的是n维向量空间.他所说的"扩张的量"就是一种有n个分量的超复数.例如当n=3时,考虑两个超复数
a=a1e1+a2e2+a3e3,
β=b1e1+b2e2+b3e3.
其中,ai和bi是实数,ei是基元素,格拉斯曼定义它们的加减法为
a±β=(a1±b1)e1+(a2±b2)e1+(a3±b3)e3,
而对于乘法则定义了两种,一种称为内积,另一种称为外积.对于内积;他假设
ei | ei=1,ei | ej=1,ei | ej=0,i≠j,
所以a |β=a1b1+a2b2+a3b3,并且有a |β=β|a.对于外积,他假设
[eiei]=0,[eiej]=-[ejei],i≠j,
所以
[aβ]=(a2b3-a3b2)[e2e3]+(a3b1-a1b3)[e3e1]+(a1b2-a2b1)[e1e2]
显然[aβ]≠[βa].
　　格拉斯曼还讨论了超复数之间的混合积.在1855年的一篇文章中,格拉斯曼更对超复数给出了16种不同类型的乘积.他对这些乘积作了几何解释,并给出了它们在力学,磁学和结晶学等方面的应用.
我们在前面曾提到,将复数推广到超复数的一个重要动力是来自物理方面的需要.格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要,但他的工作在相当长的一段时间里被人忽视了.四元数倒是立刻吸引了人们的注意力,但它却不适合物理学家的需要.将四元数改造成物理学炭所需要的工具的第一步,是由英国数学物理学家麦克斯韦迈出的.他区分了四元数的数量部分和向量部分.在一个四元数
a+bi+cj+dk
中,a称为数量部分,bi+cj+dk称为向量部分.他说,要规定一个向量需要三个量(分量),这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度.麦克斯韦在此基础上创造了大量的向量分析,不过他还是没有把向量与四元数完全分开,仍然经常用四元数作为基本的数学实体.

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　　独立于四元数的三维向量代数和向量分析,是在19世纪80年代初由美国数学物理学家吉布斯(J. W. Gibbs)和英国数学物理学家亥维赛(O. Heaviside)创立的.他们两人对这个课题的发展结果,除了记法外本质上是一致的.根据吉布斯和亥维赛所提出的思想,—个向量只是四元数的向量部分,但独立于任何四元数.因此,向量v是
V=ai+bj+ck
其中i,j,k是分别沿x,y,z轴的单位向量,a,b,c是三个实数,称为向量的分量.两个向量的和仍是一个向量,它的分量就是相加的两个向量相应分量的和.
向量的乘法有两种,一种是数量乘法,用"·"表示,也称为"点乘",在这种情形中,i,j,k满足
i·i=j·j=k·k=1,
i·j=j·i=i·k=k·i=j·k=k·j=0.
因此,把v和v′=a′i+b′j+c′k点乘就得到
V·V′=aa′+bb′+cc′.
这个乘积不再是向量而是一个数量,称为数量积.所以,两个向量的数量乘法与两个实数或复数或四元数的乘法都不同,它不满足封闭性.
向量的另一种乘法是向量积,用"×"表示,也称为"叉乘",在这种情形中,i,j,k满足
i×i=j×j=k×k=0,
i×j=k,j×i=-k,j×k=i,k×j=-i,
k×i=j,i×k=-j.
因此,把v和v′叉乘就得到
v×v′=(bc′-b′c)i+(ca′-ac′)j+(ab′-ba′)k.
它也可写成行列式的形式
两个向量的向量积是一个向量,它的方向垂直于v和v′所决定的平面,且指向v通过较小的角度转到v′时右手螺旋所指的方向.向不具有交换性.
　　矩阵是不满足乘法交换律的又一类代数对象的例子.矩阵作为线性方程组系数的排列形式可以追溯到古代(见3.1.3).在18世纪,这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日广,但矩阵作为独立的数学对象则是19世纪中叶以后的事情,高斯的二次型研究提供了重要的刺激.高斯在讨论二次型F=Ax2+2Bxy+cy2在线性变换下的变化时,实质上已涉及了矩阵的乘法.从1850年代开始,凯莱和西尔维斯特发展了更一般的代数形式变换理论,矩阵是他们手中极为有效的工具,矩阵代数随之确立(矩阵[matrix]这一术语是西尔维斯特在1850年首次引进的).
　　我们看到,不论是哈密顿的四元数,格拉斯曼的超复数,还是向量和矩阵,这些特定的代数都不能完全保持我们通常印象中的数的运算的基本性质.那么类似这样的代数能够有多大的自由度呢 后来的数学家也对这个问题进行了讨论.例如,魏尔斯特拉斯在1861年证明:有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数,如果要服从乘积定律和乘法交换律,就只有实数代数和复数代数.这就从数学上严格证明了为什么哈密顿寻求"三维复数"的努力是徒劳的.假如他知道这样一些定理的话,他就会节省下许多宝贵的时间.

lwx129 先生：您讲的不错，不过其中大部分是摘自克莱因的《古今数学思想》，不过，您把哈密顿比作仅次于牛顿的英国数学家，对此，吾不敢苟同，客观而言，哈密顿主要以他的物理学学成就为主，他的数学水平远远的不如牛顿，牛顿是超一流的数学家和物理学家，而哈密顿只能算是个英国的二流数学家才更为中肯。