连续复利法错误漫谈十八篇(十三)
(河北电大 高俊科)
十三 A。e^(rt)中单位变化率的r 的含义
函数式A。e^(rt)有着广泛的应用，其应用的重要意义在于其中参数r 的含义，与所谓的连续复利计算公式没有一点关系。
1 构成 函数A。e^(rt)式的三种方法
函数A。e^(rt)可由三种方法得出。
方法一，即所谓的连续复利法，根据复利公式A。(1+r)^t (1)得出复利分期计算公式A。(1+r/m)^(mt) (2)，令m趋于无穷大，得到连续复利公式A。e^(rt) (3)。
方法二，将(1)式变形得数学恒等式
A。(1+R)^t =A。e^(txln(1+R))=A。e^(rt)(4)
在计算复利时，其中的R为普通复利率，R的含义等同于(1)式中的r，r=ln(1+R). 这里的推导与方法一是两回事。
恒等式(4)两端相同的字母含义是一致的，两端的字母、时间变量或都只取整数，或都可取非整数，等式两端都可用作离散计算和连续计算；由此可再次看到，从(1)到(3)的推导是不成立的。
方法三，许多事物如细胞繁殖、树木生长、镭的衰变以及资金增值等事物的变化规律符合方程 (dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
解这方程得A。e^(rt).
2 单位变化率r 的意义
我们知道，函数A。e^(rt)有广泛应用，.A。e^(rt)与(5)等价，在(5)中，A。为初值，e为常数，t为时间变量，事物的变化完全决定于参数r .
dA(t)/dt为函数A(t)总的变化率，所以
(dA(t)/dt)/A(t)=r为数量1的变化率，即A。e^(rt), 中的参数r 实际为1单位的变化率，可称为单位变化率，用单位变化率概念就能把其它领域中许多概念解释清楚。
生物学中称(dA(t)/dt)/A(t)=r为瞬时增长率，利息理论中称这个r为利息力、利息强度，有数学书中称这个r为相对增长率，但都未能对这些概念给出简单明了的解释。根据单位变化率的含义解释，生物学中的所谓瞬时增长率就是任意时刻任意1单位生物生长速度；利息理论中的利息力、利息强度就是任意时刻任意1单位资金的增值速度，根据单位变化率的含义，还可直接定义推导出费雪效应公式(见中国知网上文章《用单位变化率定义和认识费雪效应公式》)。
3 实际工作中为什么要使用以无理数e为底的函数?
许多事物如资金增值、细菌繁殖、树木生长、镭的衰变、化学反应、国民经济增长等都可用A。(1+R)^t和A。e^(rt)表达，也可用它们的等价式A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t表达。用A。(1+R)^t表达是因为其中的参数R表达的是人1单位量在1单位时间的增加量。而A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t中的参数没有这样明确的数学意义。
实际工作中常使用函数A。e^(rt)的原因当要从以下两方面考虑。
一方面是，根据(dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
得到A。e^(rt).，突出了单位变化率r 的意义，由上一段可知突出单位变化率的实际意义。但由于从数学上没有给出参数r 的明确解释，数学概念落后于实际工作需要，所以对在其它领域形成的如瞬时增长率、连续复利收益率、利息力等概念也就没有简短明确解释，对此我们将在下面两篇中还要详细说明。
另一方面，在投资证券期货一类问题中，可用A。(1+R)^t =A。e^(rt)表达到t时的总值，实际上，未来的收益是不确定的，是随机的，(1+R)^t =e^(rt)就是投资1单位资金到t时的累积值，R和r，(1+R)^t 和e^(rt)也都是随机的，R和(1+R)^t、和e^(rt)不符合正态分布，而r和(rt)符合正态分布，利用r和(rt)的正态分布性就为研究问题带来了极大便利，这当是在各期权定价模型中都要将表达式A。(1+R)^t 转换为A。e^(rt)的原因。
最后强调一句，A。e^(rt)有广泛的应用，这些用法与所谓的连续复利计算没有一点关系。
(河北电大 高俊科)
十三 A。e^(rt)中单位变化率的r 的含义
函数式A。e^(rt)有着广泛的应用，其应用的重要意义在于其中参数r 的含义，与所谓的连续复利计算公式没有一点关系。
1 构成 函数A。e^(rt)式的三种方法
函数A。e^(rt)可由三种方法得出。
方法一，即所谓的连续复利法，根据复利公式A。(1+r)^t (1)得出复利分期计算公式A。(1+r/m)^(mt) (2)，令m趋于无穷大，得到连续复利公式A。e^(rt) (3)。
方法二，将(1)式变形得数学恒等式
A。(1+R)^t =A。e^(txln(1+R))=A。e^(rt)(4)
在计算复利时，其中的R为普通复利率，R的含义等同于(1)式中的r，r=ln(1+R). 这里的推导与方法一是两回事。
恒等式(4)两端相同的字母含义是一致的，两端的字母、时间变量或都只取整数，或都可取非整数，等式两端都可用作离散计算和连续计算；由此可再次看到，从(1)到(3)的推导是不成立的。
方法三，许多事物如细胞繁殖、树木生长、镭的衰变以及资金增值等事物的变化规律符合方程 (dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
解这方程得A。e^(rt).
2 单位变化率r 的意义
我们知道，函数A。e^(rt)有广泛应用，.A。e^(rt)与(5)等价，在(5)中，A。为初值，e为常数，t为时间变量，事物的变化完全决定于参数r .
dA(t)/dt为函数A(t)总的变化率，所以
(dA(t)/dt)/A(t)=r为数量1的变化率，即A。e^(rt), 中的参数r 实际为1单位的变化率，可称为单位变化率，用单位变化率概念就能把其它领域中许多概念解释清楚。
生物学中称(dA(t)/dt)/A(t)=r为瞬时增长率，利息理论中称这个r为利息力、利息强度，有数学书中称这个r为相对增长率，但都未能对这些概念给出简单明了的解释。根据单位变化率的含义解释，生物学中的所谓瞬时增长率就是任意时刻任意1单位生物生长速度；利息理论中的利息力、利息强度就是任意时刻任意1单位资金的增值速度，根据单位变化率的含义，还可直接定义推导出费雪效应公式(见中国知网上文章《用单位变化率定义和认识费雪效应公式》)。
3 实际工作中为什么要使用以无理数e为底的函数?
许多事物如资金增值、细菌繁殖、树木生长、镭的衰变、化学反应、国民经济增长等都可用A。(1+R)^t和A。e^(rt)表达，也可用它们的等价式A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t表达。用A。(1+R)^t表达是因为其中的参数R表达的是人1单位量在1单位时间的增加量。而A。a^t、A。2^(bt)和A。(1+2s)^t中的参数没有这样明确的数学意义。
实际工作中常使用函数A。e^(rt)的原因当要从以下两方面考虑。
一方面是，根据(dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
得到A。e^(rt).，突出了单位变化率r 的意义，由上一段可知突出单位变化率的实际意义。但由于从数学上没有给出参数r 的明确解释，数学概念落后于实际工作需要，所以对在其它领域形成的如瞬时增长率、连续复利收益率、利息力等概念也就没有简短明确解释，对此我们将在下面两篇中还要详细说明。
另一方面，在投资证券期货一类问题中，可用A。(1+R)^t =A。e^(rt)表达到t时的总值，实际上，未来的收益是不确定的，是随机的，(1+R)^t =e^(rt)就是投资1单位资金到t时的累积值，R和r，(1+R)^t 和e^(rt)也都是随机的，R和(1+R)^t、和e^(rt)不符合正态分布，而r和(rt)符合正态分布，利用r和(rt)的正态分布性就为研究问题带来了极大便利，这当是在各期权定价模型中都要将表达式A。(1+R)^t 转换为A。e^(rt)的原因。
最后强调一句，A。e^(rt)有广泛的应用，这些用法与所谓的连续复利计算没有一点关系。
