四星定位原理介绍

注意，光速在引力场中是持续在可变的。

楼主这贴很好，我在网上找了好久，都找不到 Δt 如何求出。
原来是用方程解出来的。

1 楼 求 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0 的 方法 和 小梦 开平方 的 迭代方法 相似， 但 又有所不同 。
见 《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》 https://tieba.baidu.com/p/6811112759 的 12 楼 。
对于 函数 y = f (x) ， 有 y₀ = f ( x₀ ) ， 已知 y₀ ， 求 x₀ 。
任取一个 x ， y = f (x)， 令 ⊿ y = y₀ - y ， ⊿ x = x₀ - x
y₀ = y + ⊿ y ， x₀ = x + ⊿ x
令 ⊿ y / ⊿ x = f ′ ( x ) ， 由此有
⊿ y = f ′ ( x ) * ⊿ x
⊿ x = ⊿ y / f ′ ( x )
令 x = x + ⊿ x ， 即 x = x + ⊿ y / f ′ ( x ) = x + ( y₀ - y ) / f ′ ( x ) ，
重复 若干次 这个 过程， x 会 接近 x₀ 。
1 楼 的 方法 和 小梦 的 方法 虽然相似， 但有所不同 。
1 楼 的 方法 是 以 自变量 来 设定 迭代目标（target）， 小梦 的 方法 是 以 因变量 来 设定 迭代目标 。
为什么 1 楼 的 方法 要 以 自变量 ⊿ x -> 0 , ⊿ y -> 0 , ⊿ z -> 0 , ⊿ t0 -> 0 作为 迭代目标 ？
因为 1 楼 要解 的 是 一个 方程组 。
事实上， 估算位置 的 计算 是 一个 关键 的 步骤， 根据 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) ， 怎么计算出 估算位置 (x′, y′, z′) ？
为了 和 导数 f ′ ( x₀ ) 区分， 我提议， 估算位置 不要 用 一撇 ′ 命名， 可以叫 ( x估, y估, z估 ) ， R ′₁ , R ′₂ , R ′₃ , R ′₄ 可以叫 R估1 , R估2 , R估3 , R估4 ， R ′ i 可以叫 R估i 或者 R估_i 。
另外， ⊿ t0 和 ⊿ ti 的 ⊿ 的 意义 是 不一样 的， 我提议， 只有 ⊿ t0 叫 ⊿ t0， ⊿ ti 应该 叫 ti， 或者 t_i 。
⊿ ti 包括 ⊿ t1 , ⊿ t2 , ⊿ t3, ⊿ t4 ， 其实 应该叫 t1 , t2 , t3, t4 。
这样， 是不是 更清楚 了 ？
乍一接触， 1 楼 的 方法 数学味 挺浓， 泰勒先生 也是 作出了 贡献 。 不过 数学味 挺浓纯 的 东东， 通常 不太 直观 。
简单的， 四星定位 是 一个 空间几何 的 线性问题， 以 高中 的 解析几何 为 基础 可以 作一些 解答 。 高中 解析几何 有没有 涉及 到 空间 中 的 2 条 曲线相交 了 ？
通过 解 空间 中 的 2 个 圆 相交 的 方程组， 可以得到 定位 的 位置点， 当然 ， 这样 的 方程组 有多个， 不是一个 ……
从 工作量 上 来 说， 解 空间 中 2 个 圆 相交 的 方程组（方程组 有 多个） 可能 不比 1 楼 的 方程组 简单， 也许 还麻烦 一些 。
四星 可以 得到 4 组 定位 位置， 再 让 这 4 组 位置 逼近 出 一个 “尽可能接近真实位置” 的 位置， 这就是 输出结果 。
但， 可以发现， 要 实施 1 楼 的 算法， 本来就要 知道 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) 这 4 个 定位位置， 最初 的 这 4 个 定位位置， 大概 就是 用 2 个 圆 相交 的 解析几何 方法 求出来 的 吧， 啊哈哈哈哈 。
另一方面， 1 楼 的 矩阵， 有 2 个， 就叫做 矩阵 1 和 矩阵 2 好了， 第一个 矩阵 是 矩阵 1， 第二个 矩阵 是 矩阵 2 。
矩阵 1 如果 直接 写成 4 个 方程 的 方程组， 我想 初中生 也可以看懂，
矩阵 2， 包含了 矩阵的除法， 就是有 -1 次方 的 那个， 似乎 毫无意义 …… 它 仅表示 要 解 矩阵 1 表示 的 四元方程组 ， 而 事实上， 矩阵 2 并 没有 让 解方程组 的 计算 变得 简便， 也没有 提供 什么 计算方法 。
矩阵 1， 写成 4 个 方程 的 方程组， 并不会 比 矩阵 多写 几个字， 如果 矩阵 唯一 的 优点 是 省字数， 那 确实 没 省到几个 。
这些 矩阵， 看起来 并不直观 。
1 楼 的 算法 可以这样说， 用 泰勒公式 的 一阶项 列一个 四元方程组 逼近 估算位置， 四元方程组 包含 的 4 个 未知数 是 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0， 求出 这 4 个 未知数 就是 对 估算位置 的 一次 近似（逼近） 。
而 根据 每次 解 四元方程组 得到 的 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0， 可以得到 新 的 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) ，
这些 新的 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) 就是 对 估算位置 的 一次 近似（逼近），
此时， 根据 新的 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) ， 计算得 一个 新的 估算位置 (x′, y′, z′) ，
回到 第一步， 根据 新的 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) ， 用 泰勒公式 的 一阶项 列一个 四元方程组 逼近 新的 估算位置 。
上述 就是 迭代过程， 若干次 迭代 后， 就可以得到 “误差分量Δx，Δy和Δz小于所要求的误差” 的 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) ， 也就是 符合精度要求 的 定位位置， 也就是 输出结果 。
还是那句话， 估算位置 的 取值， 是一个 关键 的 步骤 。

9 楼 说反了， (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) 是 4 个 卫星 的 位置， 不是 对 地面物体 测出 的 4 个 位置，
这样， 就是 用 估算位置 计算出 的 R估1 、R估2 、R估3 、R估4 去 逼近 4 个 卫星 实际 测量得到 的 R1 、R2 、R3 、R4 ， 而 这 也 使得 估算位置 (x估 , y估 , z估) 逼近了 真实位置 。
1 楼 中 的 估算位置 是 (x′ , y′ , z′) ， 我 这里 把 命名 改成了 (x估 , y估 , z估) 。
这是一个 直接 和 巧妙 的 方法 。 不需要 用 2 个圆（3 个圆） 相交 求出 位置点， 再对 若干个 位置点 综合平均 得到 一个 误差较小 的 位置点 。
这样一来的话， 估算位置 就不是 问题了， 一开始 的 估算位置 可以随便 取一个 。
为什么 9 楼 会 把 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) , (x4, y4, z4) 当成是 对 地面物体 测出 的 4 个 位置 ？
原因之一是， 4 个 卫星 对 一个 地面物体 可以给出 4 组 测量数据， 对应 4 个 位置 。
设 卫星 是 A 、B 、C 、D ， ABC 一组， ABD 一组， ACD 一组， BCD 一组， 因为 3 个 卫星 可以 决定 一个 地面位置，
所以， 对 一个 地面物体， 每组 可以 给出 一个 位置， 这样就可以得到 4 个 位置， 把 这 4 个 位置 综合平均 一下 就是 定位结果， 综合平均 起到 中和减小误差 的 作用 。

我把 9 楼 的 内容 修改了一下， 结合 10 楼 的 内容， 另外又增加了一些内容， 重新发在这里 。
1 楼 求 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0 的 方法 和 小梦 开平方 的 迭代方法 相似， 但 又有所不同 。
见 《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》 https://tieba.baidu.com/p/6811112759 的 12 楼 。
对于 函数 y = f (x) ， 有 y₀ = f ( x₀ ) ， 已知 y₀ ， 求 x₀ 。
任取一个 x ， y = f (x)， 令 ⊿ y = y₀ - y ， ⊿ x = x₀ - x
y₀ = y + ⊿ y ， x₀ = x + ⊿ x
令 ⊿ y / ⊿ x = f ′ ( x ) ， 由此有
⊿ y = f ′ ( x ) * ⊿ x
⊿ x = ⊿ y / f ′ ( x )
令 x = x + ⊿ x ， 即 x = x + ⊿ y / f ′ ( x ) = x + ( y₀ - y ) / f ′ ( x ) ，
重复 若干次 这个 过程， x 会 接近 x₀ 。
1 楼 的 方法 和 小梦 的 方法 虽然相似， 但有所不同 。
1 楼 的 方法 是 以 自变量 来 设定 迭代目标（target）， 小梦 的 方法 是 以 因变量 来 设定 迭代目标 。
为什么 1 楼 的 方法 要 以 自变量 ⊿ x -> 0 , ⊿ y -> 0 , ⊿ z -> 0 , ⊿ t0 -> 0 作为 迭代目标 ？
因为 1 楼 要解 的 是 一个 方程组 。
事实上， 方程组 也并不成其为 理由 。 事实上， 小梦 的 算法 也可以 以 自变量 ⊿ a -> 0 作为 迭代目标， 设 被开方数 为 b， a 为 中间结果， 也是 最终结果，
⊿ a = ( b - a ² ) / (2a)
令 a = a + ⊿ a ，
这是 迭代过程， 若干次迭代后， a 会 接近 根号 b 。
可以看到， 可以 以 ⊿ a -> 0 或者 小于 “所要求的误差” 来 作为 迭代目标 。
而 1 楼 的 算法 也可以 以 R i - R ′i -> 0 或者 小于 “所要求的误差” 来 作为 迭代目标， 这里的 R i - R ′i 可以是 绝对值 | R i - R ′i | 。
为了 和 导数 f ′ ( x₀ ) 区分， 我提议， 估算位置 不要 用 一撇 ′ 命名， 可以叫 ( x估, y估, z估 ) ， R ′₁ , R ′₂ , R ′₃ , R ′₄ 可以叫 R估1 , R估2 , R估3 , R估4 ， R ′ i 可以叫 R估i 或者 R估_i 。
另外， ⊿ t0 和 ⊿ ti 的 ⊿ 的 意义 是 不一样 的， 我提议， 只有 ⊿ t0 叫 ⊿ t0， ⊿ ti 应该 叫 ti， 或者 t_i 。
⊿ ti 包括 ⊿ t1 , ⊿ t2 , ⊿ t3, ⊿ t4 ， 其实 应该叫 t1 , t2 , t3, t4 。
这样， 是不是 更清楚 了 ？
乍一接触， 1 楼 的 方法 数学味 挺浓， 泰勒先生 也是 作出了 贡献 。 不过 数学味 挺浓纯 的 东东， 通常 不太 直观 。
简单的， 四星定位 是 一个 空间几何 的 线性问题， 以 高中 的 解析几何 为 基础 可以 作一些 解答 。 高中 解析几何 有没有 涉及 到 空间 中 的 2 条 曲线相交 了 ？
通过 解 空间 中 的 2 个 圆 相交 的 方程组， 可以得到 定位 的 位置点， 当然 ， 这样 的 方程组 有多个， 不是一个 ……
从 工作量 上 来 说， 解 空间 中 2 个 圆 相交 的 方程组（方程组 有 多个） 可能 不比 1 楼 的 方程组 简单， 也许 还麻烦 一些 。
四星 可以 得到 4 组 定位 位置， 再 让 这 4 组 位置 逼近 出 一个 “尽可能接近真实位置” 的 位置， 这就是 输出结果 。
1 楼 的 方法 是 用 估算位置 计算出 的 R估1 、R估2 、R估3 、R估4 去 逼近 4 个 卫星 实际 测量得到 的 R1 、R2 、R3 、R4 ， 而 这 也 使得 估算位置 (x估 , y估 , z估) 逼近了 真实位置 。
一开始 的 估算位置 可以 随便 取一个 。
1 楼 中 的 估算位置 是 (x′ , y′ , z′) ， 我 这里 把 命名 改成了 (x估 , y估 , z估) 。
这是一个 直接 和 巧妙 的 方法 。 不需要 用 2 个圆（3 个圆） 相交 求出 位置点， 再对 若干个 位置点 综合平均 得到 一个 误差较小 的 位置点 。 综合平均 起到 中和减小误差 的 作用 。
另一方面， 1 楼 的 矩阵， 有 2 个， 就叫做 矩阵 1 和 矩阵 2 好了， 第一个 矩阵 是 矩阵 1， 第二个 矩阵 是 矩阵 2 。
矩阵 1 如果 直接 写成 4 个 方程 的 方程组， 我想 初中生 也可以看懂，
矩阵 2， 包含了 矩阵的除法， 就是有 -1 次方 的 那个， 似乎 毫无意义 …… 它 仅表示 要 解 矩阵 1 表示 的 四元方程组 ， 而 事实上， 矩阵 2 并 没有 让 解方程组 的 计算 变得 简便， 也没有 提供 什么 计算方法 。
矩阵 1， 写成 4 个 方程 的 方程组， 并不会 比 矩阵 多写 几个字， 如果 矩阵 唯一 的 优点 是 省字数， 那 确实 没 省到几个 。
这些 矩阵， 看起来 并不直观 。
1 楼 用 泰勒公式 的 一阶项 列一个 四元方程组 逼近 估算位置， 四元方程组 包含 的 4 个 未知数 是 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0，
其实 要求 的 是 接近 真实位置 的 估算位置 ( x估 , y估 , z估 ) ， 每次迭代 从 四元方程组 中 求得 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0 ，
在 1 楼 可以看到， 每一次 迭代 列 四元方程组 ， 要用到 上一次 的 x′ , y′ , z′ ， 也就是 x估 , y估 , z估 ，
而 上一次 的 x估 , y估 , z估 由 上一次 的 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z 求得， 如下 ：
x估 = x估 + ⊿ x
y估 = y估 + ⊿ y
z估 = z估 + ⊿ z
可以看到， 上一次 的 ⊿ t0 并不会 用到， ⊿ t0 只是一个 占位符， 或者说 占位元， 或者说 占位未知数 。
本来， 对于 ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z 三个 未知数， 只要有 三个 方程 组成 三元方程组 就 足以 解出， 也就是说， 只要有 3 个 卫星 的 测量数据 R1 、R2 、R3 就可以 用 1 楼 的 方法 迭代 得出 接近 真实位置 的 估算位置 。
但 为了 提高精度， 加入了 第 4 个 卫星， 组成 四元方程组， 这就需要再增加一个 未知数， 于是 就 加入了 ⊿ t0 ，
当 有 5 个 卫星 的 时候， 会有 5 个 测量数据 ： R1 、R2 、R3 、R4 、R5 ， 可以 列 5 个 方程， 为了 组成 五元方程组， 当然 要 再加一个 未知数， 比如 ⊿ t02 ， 原来 的 ⊿ t0 改名为 ⊿ t01， 这样， 在 每个 方程 里 会有 + c * ⊿ t01 + c * ⊿ t02 这样 两项 。
方程组 有 5 个 未知数 ： ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t01 , ⊿ t02 。
同理， 当 有 6 个 卫星 的 时候， 会有 6 个 测量数据 ： R1 、R2 、R3 、R4 、R5 、R6 ， 可以 列 6 个 方程， 这样要 再加 一个 未知数 ⊿ t03 ， 每个方程 里 会有 + c * ⊿ t01 + c * ⊿ t02 + c * ⊿ t03 这样 三项 。
方程组 有 6 个 未知数 ： ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t01 , ⊿ t02 , ⊿ t03 。
当有 7 个 卫星 的 时候， 会有 + c * ⊿ t01 + c * ⊿ t02 + c * ⊿ t03 + c * ⊿ t04 四项 ， 方程组 有 7 个 未知数 ： ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t01 , ⊿ t02 , ⊿ t03 , ⊿ t04 。
当有 8 个 卫星 的 时候， 会有 + c * ⊿ t01 + c * ⊿ t02 + c * ⊿ t03 + c * ⊿ t04 + c * ⊿ t05 五项 ， 方程组 有 8 个 未知数 ： ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t01 , ⊿ t02 , ⊿ t03 , ⊿ t04 , ⊿ t05 。
……
当有 i 个 卫星 的 时候， 依此类推 。

接 11 楼， 因为 误差 的 存在， ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t0 并不会 无限 的 变小， 迭代到 一定 次数 时， ⊿ x, ⊿ y, ⊿ z, ⊿ t01 会 在 一定范围 附近 徘徊 和 跳跃 。
这个范围 也是 定位目标 的 位置范围 。
这里 说的 误差 是指 Ri 的 测量误差 。
1 楼 的 方法 使用 泰勒公式 一阶项， 对于 多元方程（函数）， 是 用 偏导数 的 方式 使用 泰勒公式 一阶项 ， 这可以达到 迭代逼近 的 效果， 这一点 在 多维空间几何 中 可以得到 直观 的 证明 。

接 12 楼， 对 1 楼 用 偏导数 将 泰勒公式 一阶项 应用到 多元函数 的 方法 做一个 简单 的 推导证明 。
先推导 一下 泰勒公式 一阶项 公式 ， 其实 在 11 楼 有 这个 推导过程 。
对于 函数 y = f (x) ， 有 y₀ = f ( x₀ ) ， 已知 y₀ ， 求 x₀ 。
任取一个 x ， y = f (x)， 令 ⊿ y = y₀ - y ， ⊿ x = x₀近似 - x
y₀ = y + ⊿ y ， x₀近似 = x + ⊿ x
令 ⊿ y / ⊿ x = f ′ ( x ) ， 由此有
⊿ y = f ′ ( x ) * ⊿ x
⊿ x = ⊿ y / f ′ ( x )
x₀近似 = x + ⊿ x
= x + ⊿ y / f ′ ( x )
= x + ( y₀ - y ) / f ′ ( x )
令 x = x₀近似 ， 重复 若干次 这个 过程， x 会 接近 x₀ 。
由 ⊿ y = f ′ ( x ) * ⊿ x ， 有
y₀ - y = f ′ ( x ) * ⊿ x
y₀ = y + f ′ ( x ) * ⊿ x (1) 式
(1) 式 就是 泰勒公式 一阶项 公式， 注意， (1) 式 里的 x₀ 和 1 楼 的 x₀ 反过来了， (1) 式 的 x₀ 是 1 楼 的 x， (1) 式 的 x 是 1 楼 的 x₀ ， 相应的， y 和 y₀ ， f ( x ) 和 f ( x₀ ) 也是 反过来的 。
当然， 1 楼 没有用 y 和 y₀， 是用 f ( x ) 和 f ( x₀ ) 表示 函数 的 。
其实 这些 不是 大问题， 意会 就行 。
上面的 推导过程 是 以 通俗 的 视角 推导 泰勒公式 一阶项 公式，
用 简单 的 高数知识 可以 证明， (1) 式 求出 ⊿ x ， 令 x = x + ⊿ x ， 再 代入 (1) 式 求 ⊿ x ， 如此迭代， 可以让 x -> x₀ 。
对于 多元函数 R = f ( x, y, z ) ， 要 怎么应用 (1) 式 ？
x, y, z 为 自变量， R 为 因变量 。
对于 R₀ = f ( x₀, y₀, z₀ ) ， 已知 R₀ ， 求 x₀, y₀, z₀ 。
可以 这样来看， 先固定 y, z ， 只让 x 变化， 在 只让 x 变化 的 情况下， 尽量 的 让 R 逼近 R₀ ，
于是， y, z 可以看作 常量， 应用 (1) 式， 可得 ：
R₀ = R + ∂ f ( x, y, z ) / ∂ x
R₀ = f ( x, y, z ) + ∂ f ( x, y, z ) / ∂ x
给 x, y, z 各取一个 估算值 x估 , y估 , z估 ，
R₀ = f ( x估, y估, z估 ) + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ x * ⊿ x (2) 式
同理， 固定 x, z ， 只让 y 变化， 在 只让 y 变化 的 情况下， 尽量 的 让 R 逼近 R₀ ， 可得
R₀ = f ( x估, y估, z估 ) + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ y * ⊿ y (3) 式
同理， 固定 x, y ， 只让 z 变化， 在 只让 z 变化 的 情况下， 尽量 的 让 R 逼近 R₀ ， 可得
R₀ = f ( x估, y估, z估 ) + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ z * ⊿ z (4) 式
接下来， 可以 先 根据 (2) 式 求出 ⊿ x ， 根据 x估 = x估 + ⊿ x 得到 新的 x估 ，
把 新的 x估 代入 (3) 式， 求出 ⊿ y， 根据 y估 = y估 + ⊿ y 得到 新的 y估 ，
把 新的 x估 , y估 代入 (4) 式， 求出 ⊿ z， 根据 z估 = z估 + ⊿ z 得到 新的 z估 ，
把 新的 x估 , y估 , z估 代回 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式， 重复 上述过程 。
这样 迭代 若干次 后， x估 , y估 , z估 应该会 接近 x₀, y₀, z₀ 。
可以看到， (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 的 形式 是 一样 的， 差别 是 等号右边 的 第 2 项， 第 2 项 也就是 增量项 。
可以 把 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 叠加 起来，
R₀ = f ( x估, y估, z估 ) + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ x * ⊿ x + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ y * ⊿ y + ∂ f ( x估, y估, z估 ) / ∂ z * ⊿ z (5) 式
(5) 式 就是 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 叠加起来 的 结果，
“叠加” 包含 2 个 意思， 一是 (5) 式 完整 的 保留了 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 各自 的 逼近能力， 二是 让 ⊿ x , ⊿ y , ⊿ z 建立了 联系 。
为什么说 (5) 式 完整 的 保留了 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 各自 的 逼近能力 ？
当 ⊿ y = 0 , ⊿ z = 0 时， (5) 式 变回 (2) 式，
当 ⊿ x = 0 , ⊿ z = 0 时， (5) 式 变回 (3) 式，
当 ⊿ x = 0 , ⊿ y = 0 时， (5) 式 变回 (4) 式，
这应该可以说是 (5) 式 完整 的 保留了 (2) 式 , (3) 式 , (4) 式 各自 的 逼近能力 。
这个叠加 似乎 可以叫一个 定理， 比如 “线性叠加和退化法则” 。
根据 (5) 式， 可以列一个 三元方程， 如果 有 3 个 R， 比如 R1, R2, R3， 就可以 列 三个 方程， 组成 三元方程组 。
R1 = R估1 + ∂ f1 ( x估, y估, z估 ) / ∂ x * ⊿ x + ∂ f1 ( x估, y估, z估 ) / ∂ y * ⊿ y + ∂ f1 ( x估, y估, z估 ) / ∂ z * ⊿ z (6) 式
R2 = R估2 + ∂ f2 ( x估, y估, z估 ) / ∂ x * ⊿ x + ∂ f2 ( x估, y估, z估 ) / ∂ y * ⊿ y + ∂ f2 ( x估, y估, z估 ) / ∂ z * ⊿ z (7) 式
R3 = R估3 + ∂ f3 ( x估, y估, z估 ) / ∂ x * ⊿ x + ∂ f3 ( x估, y估, z估 ) / ∂ y * ⊿ y + ∂ f3 ( x估, y估, z估 ) / ∂ z * ⊿ z (8) 式
其中， R估1 = f1 ( x估, y估, z估 ) ， R估2 = f2 ( x估, y估, z估 ) ， R估3 = f3 ( x估, y估, z估 )
注意， f1 , f2 , f3 是不一样的， 区别在于 代入 的 卫星位置 不一样，
R1 是 卫星 1 测量的， 卫星 1 的 位置 是 ( x1, y1, z1 ) ， 所以， 在 f ( x估, y估, z估 ) 中 代入 ( x1, y1, z1 ) 就是 f1 ( x估, y估, z估 ) ，
R2 是 卫星 2 测量的， 卫星 2 的 位置 是 ( x2, y2, z2 ) ， 所以， 在 f ( x估, y估, z估 ) 中 代入 ( x2, y2, z2 ) 就是 f2 ( x估, y估, z估 ) ，
R3 是 卫星 3 测量的， 卫星 3 的 位置 是 ( x3, y3, z3 ) ， 所以， 在 f ( x估, y估, z估 ) 中 代入 ( x3, y3, z3 ) 就是 f3 ( x估, y估, z估 ) ，
这就是 1 楼 的 方法 。

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