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【初中数学吧】第一届初中数学吧数学竞赛

标题注解：
由于不知道以前是否举办过，暂先取用第一届
赛前指示：
1.竞赛题型大部分为奥数题，可能部分超出课本范围，不必强求都会做，可当作对自己的水平提升
2.竞赛包括5道填空题，5道选择题和5道解答题，难易程度不等
3.答题格式为:
(1).新发一主题贴，标题为【初中数学吧数学竞赛】答卷-xxx（例如：【初中数学吧数学竞赛】答卷-cjy95)
(2).一楼留下，从二楼开始答题，每楼一题，必要时附上图作解释，不会作图请到自定义链接里下载几何画板，不会发图请参见发图教程
4.竞赛即日开始，结束时间为2个星期之后，届时将公布答案与成绩排名
5.竞赛题从2楼开始出，请勿插楼


考题
一、选择题
1.已知a,b为整数，且满足，则a+b的值为（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3


2.有下列三个命题：（甲）若α，β是不相等的无理数，则αβ+α-β是无理数；（乙）若α，β是不相等的无理数，则(α-β)/(α+β)是无理数；（丙）若α，β是不相等的无理数，则(√α)+( ³√β)是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0（B）1（C）2（D）3


3.若函数y=(x^2-100x+196+|x^2-100x+196|)/2，则当自变量x取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（   ）。
（A）540（B）390（C）194（D）97


4.一个一次函数图象与直线y=(5/4)x+(95/4)平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个


5.设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且a/b=(a+b)/(a+b+c)，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A（B）∠B＝2∠A（C）∠B＜2∠A（D）不确定


2.正整数a,b,c满足a<b<c,且ab+bc+ac=abc,列出所有符合条件的a,b,c_____________


3.在△ABC中，∠B=2∠C,AD为∠A平分线，mAB=nBD (n>m>0).则cosC=__________(用含m，n代数式表示)


4.5个同班同学生日在同一天的概率为___________


5.如图，PQ为圆O切线，Q是弧AB中点，弦AC=BC，CA的延长线交PQ于D，OE⊥BC，且垂足为E，连接DE,取F为DE中点，连接QF，已知QF长2，AC长6，则OE长_______



三、解答题
1.设常数a≥0，求关于x的方程x4+6x3+(9-2a)x2-6ax+a2-4=0的解


2.如图，四边形ABCD被一直线所截，分别交AD,AB的延长线,DC的延长线,BC于E,G,H,F
求证：(AG/GB)*(BF/FC)*(CH/HD)*(DE/EA)=1



3.如图，圆H的内接四边形ABCD将两对对边延长，分别交于E,F,对角线AC,BD交于G
求证：G为△HEF垂心


4.如图，圆O1,O2,O3,O4的圆心都在圆O上，O1与O2交于A1、B1；O2与O3交于A2、B2；O3与O4交于A3、B3;O4与O1交于A4、B4，且，A1,A2,A3,A4在圆O上，B1,B2,B3,B4在圆O内部，连接B1B2,B2B3,B3B4,B1B4
求证：四边形B1B2B3B4为矩形



5.n个正整数a1,a2,a3......an，满足条件1=a1<a2<......<an=2009,且这n个数中任意(n-1)个不同的数的算数平均数都是正整数，求n最大值


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