线性谐振子的量子力学振动解
一维线性谐振子的势能U（X）=mω^2X^2/2(m为谐振子的质量，ω是其振动频率)，带入定态薛定谔方程
[-h^2/8mπ^2*d^2/dX^2+U(X)]ψ(X)=Eψ(X)              (1)
[方程中，ψ为谐振子体系的波函数，E为本征能量，h为普朗克（Planck）常数]，既有
h^2/8mπ^2*d^2ψ/dX^2+(E- mω^2X^2/2)=0              (2)
令x=αX=(mω2π/h)^(1/2),λ=2E2π/hω,则方程变为
d^2ψ/dX^2+（λ-x^2）ψ(x)=0                   (3)
当x趋于无穷大时，可省去λ，容易看出ψ(x)=e^(-x^2/2) 是
d^2ψ/dX^2-x^2ψ(x)=0
在x趋于无穷大时的近似解。将其作为方程（3）的渐近解，于是当x有限时可令
ψ(x)= e^(-x^2/2) y(x)                              （4）
代入（3）便得
y’’(x)-2xy’(x)+( λ-1)y(x)=0                     (5)
这个2阶常微分方程称为厄密方程的常点。因此便把解展开成以x0=0为中心的泰勒级数，即
y(x)=∑akx^k (k从0到无穷大求和)
代入式（5）得
∑ak k(k-1)x^(k-2)-2ak kx^k+∑ak(λ-1)x^k=0
（第一个连加号为2到正无穷, 第二个连加号为1到正无穷, 第三个连加号为0到正无穷。）
由x^k项的系数和为0可得
（k+2）(k+1) ak+2-2kak+(λ-1) ak=0
这就是系数的递推公式
ak+2=   (2k+1-λ) ak/(k+2)(k+1)                     (6)
由该式可从a0推出a2,a4,….,从a1推出a3,a5, …。于是，偶次幂项系数为a2n=(4n-3-λ) a2n-2/2n(2n-1)=(4n-3-λ)(4n-7-λ) a2n-4/2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=(1-λ)(5-λ)***(4n-3-λ) a0/(2n)!
而奇次幂的系数为a2n+1=（4n-1-λ）a2n-1/(2n+1)2n=(3-λ)(7-λ)***(4n-1-λ)a1/(2n+1)!
把偶次幂和奇次幂项分别归并（并取a0=1，a1=1）,则有
y0(x)=1+(1-λ)x^2/2!+(1-λ)(5-λ)x^4/4!+ …+（1-λ）（5-λ）…（4n-3-λ）x^2n/(2n)!+ …                    (7)
y1(x)=x+(3-λ)x^3/3!+(3-λ)(7-λ)x^5/5!+…+(3-λ)(7-λ)…(4n-1-λ)x^(2n+1)+ …                       (8)
那么y(x)=Ay0(x)+By1(x)                           (9)
由递推公式容易看出|ak/ak+2|=∞(x→∞),即表示级数y0，y1的收敛半径R=∞（厄密方程的p(x),q(x)在开复平面上解析），就是说，只要x有限，级数便收敛。反过来说，若x→∞,y(x)还是要趋于无穷大。因此，为了保证x→∞时y(x)有限，就必须将级数在某一项截住。
当λ=2k+1=4n+1或4n+3时y0(x)或y1(x)成为多项式，于是y(x)分别取y0(x)或y1(x)的单支，而舍去另一支y0(x)或y1(x)，这里k=0，1，2，3，…。此时的y(x)称为厄密多项式，分别记以H0(x),H1(x),H2(x),…;k即为厄密多项式Hk(x)的阶数。这类多项式是一种常见的特殊函数。而λk-1=2k（偶数）    （10）
是一些分立的（离散的）数值，称为厄密方程的本征值。由λ=2E2π/hω可得Ek=（k+1/2）hω/2π                    (11)
这表示能量取分立的（离散的）数值，即所谓的能量量子化。