理解难度较大，楼主在使用什么上网工具？

波函数随时间演化满足的是薛定谔方程（非相对论情况）或者狄拉克方程（自旋½粒子相对论情形），跟本征方程没关系。
本征方程的求解跟傅里叶变换也没关系，只是动量算符的本征函数是平面波，波函数用动量本征函数展开相当于数学上的傅里叶逆变换，展开系数（动量波函数）在数学上来讲是波函数的傅里叶变换。但其他的力学量算符的本征函数不是平面波，所以不会跟傅里叶变换有联系。