看复数域中的欧拉恒等式e^(πi)+1=0是怎么回事?
高俊科(河北开放大学退休教师)
不少书中都讲到复数域中的欧拉公式，如以色列人的著作《一个常数的传奇》、日本人的著作《数学与生活》、中国人的著作《不可思议的e》等数学书中都讲了欧拉公式e^(πi)+1=0，这个公式把五个最特殊的数0、1、i、π、e连在一起，让它们共处于等式e^(iπ)+1=0中。德国数学家克莱因称之为以色列人伊莱.马奥尔说，“很多人认为它具有不亚于神的力量”，美国数学家本杰明..皮尔斯说”这个公式是绝对正确的，也是绝对诡异的，我们能够证明它，但不能理解它”。
在实数域中，对于余弦函数cost，通过图示我们能观察得出cosπ=–1，这就有cosπ+1=0，这就是余弦函数把三个特殊的数0、1、π共处一式了，没有谁会感觉到这样让0，1，π共处一个等式cosπ+1=0神秘，也不会想到再用什么其它方法证明cosπ+1=0这一恒等式。
在复数域中，对于欧拉恒等式e^(iπ)+1=0也应该是一样的。
在复数域中，对于指数函数e^(it)，通过图示我们能直接得e^(iπ)=–1 ，这就有e^(iπ)+1=0，这就是指数函数e^(it)把五个特殊的数0、1、i、π、e共处一式e^(iπ)+1=0了，这就不需要再用什么其它方法进行证明。
接下来我们来看对于指数函数z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.
在复平面上，函数z(t)=e^(it)随t的变化是一个动点，其轨迹是一条曲线，z(t)=e^(it)的导数是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲线上任何一点，iz(t)与矢径z(t)总保持反时针方向垂直，所以z(t)轨迹是一个圆。因为z(0)=1，所以z(t)的轨迹是一单位圆 。
dz(t)/dt的方向是z(t)的运动方 向，绝对值Idz(t)/dtI是动点z(t)的线速度，Idz(t)/dtI=1，在单位圆上，z(t)路径的长度与经过这路径时t的数量恒相等，t从0到π用时间π，z(t)在单位圆上的路径也就是π，在单位圆上从z(0)=1反时针方向经过π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，这就得到了复平面上的欧拉公式
e^(iπ)+1=0
这就让数字0、1、i.π、e共处于一个等式中了。
单位圆上弧长与所对的角度数总相等，所以，z(t)=e^(it) 的线速度与角速度一致。
如果变量t从0开始有改变量x，则x也从z(t)=e^(it)从z(0)=1沿单位圆逆时针方向经过的弧长，对应的终点是z(x)=e^(xt)，x也是转过的角度数，对应的终点是cosx+isinx 即 z(x)=e^(xt) 与cosx+isinx是复平面上的同一个点 ，因此，恒有
e^(xt)=cosx+isinx
高俊科(河北开放大学退休教师)
不少书中都讲到复数域中的欧拉公式，如以色列人的著作《一个常数的传奇》、日本人的著作《数学与生活》、中国人的著作《不可思议的e》等数学书中都讲了欧拉公式e^(πi)+1=0，这个公式把五个最特殊的数0、1、i、π、e连在一起，让它们共处于等式e^(iπ)+1=0中。德国数学家克莱因称之为以色列人伊莱.马奥尔说，“很多人认为它具有不亚于神的力量”，美国数学家本杰明..皮尔斯说”这个公式是绝对正确的，也是绝对诡异的，我们能够证明它，但不能理解它”。
在实数域中，对于余弦函数cost，通过图示我们能观察得出cosπ=–1，这就有cosπ+1=0，这就是余弦函数把三个特殊的数0、1、π共处一式了，没有谁会感觉到这样让0，1，π共处一个等式cosπ+1=0神秘，也不会想到再用什么其它方法证明cosπ+1=0这一恒等式。
在复数域中，对于欧拉恒等式e^(iπ)+1=0也应该是一样的。
在复数域中，对于指数函数e^(it)，通过图示我们能直接得e^(iπ)=–1 ，这就有e^(iπ)+1=0，这就是指数函数e^(it)把五个特殊的数0、1、i、π、e共处一式e^(iπ)+1=0了，这就不需要再用什么其它方法进行证明。
接下来我们来看对于指数函数z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.
在复平面上，函数z(t)=e^(it)随t的变化是一个动点，其轨迹是一条曲线，z(t)=e^(it)的导数是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲线上任何一点，iz(t)与矢径z(t)总保持反时针方向垂直，所以z(t)轨迹是一个圆。因为z(0)=1，所以z(t)的轨迹是一单位圆 。
dz(t)/dt的方向是z(t)的运动方 向，绝对值Idz(t)/dtI是动点z(t)的线速度，Idz(t)/dtI=1，在单位圆上，z(t)路径的长度与经过这路径时t的数量恒相等，t从0到π用时间π，z(t)在单位圆上的路径也就是π，在单位圆上从z(0)=1反时针方向经过π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，这就得到了复平面上的欧拉公式
e^(iπ)+1=0
这就让数字0、1、i.π、e共处于一个等式中了。
单位圆上弧长与所对的角度数总相等，所以，z(t)=e^(it) 的线速度与角速度一致。
如果变量t从0开始有改变量x，则x也从z(t)=e^(it)从z(0)=1沿单位圆逆时针方向经过的弧长，对应的终点是z(x)=e^(xt)，x也是转过的角度数，对应的终点是cosx+isinx 即 z(x)=e^(xt) 与cosx+isinx是复平面上的同一个点 ，因此，恒有
e^(xt)=cosx+isinx
