量子计算机
让我们首先了解一下什么是量子计算机，其与传统的计算机有什么区别？
量子计算机是使用量子力学进行运算的机器。
那么，这与其他计算机有何不同？我们知道，计算机最基本的形式是用来执行运算，有许多类型的计算机，在计算机时代的早期，我们实际上是有过机械计算机的——查尔斯·巴贝奇在1837年设计了一款机械计算机来执行基本的计算过程。现今，我们的计算机基于数字电子设备，利用位和逻辑门来进行运算。与之不同的是，量子计算机使用量子力学来进行运算，利用量子比特和量子门，而不是位和逻辑门。
那么，什么是量子比特和量子门呢？物理上来说，它们可以用许多方式实现——Google、IBM、微软、Rigetti等公司都有自己的方案。我们现阶段无需关心量子比特和量子门的物理性质，因为初次学习量子程序并不需要了解这些。

量子编程
在开始编程之前，强烈建议你摒弃大脑中有关编程的一切固有概念，不要想着声明设置变量，循环语句，定义函数等，任何先入之见都没有用。量子编程不是简单地将现在的程序运行更快的一种方法，其与现有的程序在根本上就是完全不同的。（按语：“量子编程”用是类似HDL的硬件描述语言，而不是如C之类的面向过程式语言。两者无法类比。）
了解量子比特
一个量子比特是具有单位长度的两份复数的矢量。为什么使用量子比特？量子比特的含义是什么？我们不妨把它和传统的位（即比特）作比较。
对于初学者来言，“一个位”是一个非0即1的数。而“一个量子比特”是一个非0即1的概率分布：若有两个相同的量子比特，分别测量，可以测到不同的值。仔细想一想，就可以发现，基于量子比特的量子计算，本质上也是概率性的！
第二个重要的区别是，一个传统的位可以被无限次读取，而量子比特一旦被读取过，就会失去量子性，坍缩成一个传统的位。想想薛定谔的猫，“测量”就是打开盒子，看看猫有没有死。一旦发现它死了，即使合上盖子再打开，猫也不会再活过来。用量子力学的话说，“波函数发生了坍缩”。
我们假设一个量子比特可以测到0的概率为|α|2，测到1的概率为|β|2。由于测到的值非0即1，所以：

其中，包含α和β的列向量是一个量子比特，α和β上方的横线表示复共轭。之所以把概率写成α和β模长的平方，是因为α和β本质上是两个波函数的幅值，而任何测量手段都是在取各自的模平方。
总结：量子比特是两个复数的α和β的单位向量。量子比特被测量概率为0的是|α|2，被测量为1。α和β在被测量之前，是不得而知的，测过之后则坍缩。

量子比特符号
我们通常使用狄拉克标记（也称作bra-ket标记）表示量子比特。bra代表行向量，用〈 |表示，ket代表列向量，用| 〉表示。例如，我们可以按照以下的方式在狄拉克表示中写入测到的“0”状态和“1”状态。（注意不要将bra/ket的表示和向量内的内容混淆。）
量子比特有纯态和混合态的区别。如果一个量子比特的态可以完全用|0〉和|1〉线性表示，这就是一个纯态：

其他量子比特需要纯态的混合才能充分描述它们，被称为混合态量子比特。换句话说，混合态量子比特是通过纯态的概率分布来描述的。在本文稍后的部分，我们将看到一个混合态量子比特的示例。

多个量子比特
到目前为止，我们仅定义了单个量子比特的状态。多个量子比特的组合状态是什么样的？
多个量子比特的组合状态其实就是所有量子比特的张量积。
如果你不知道张量积是什么，请不要担心。我们将通过一个简单的示例来进行介绍（⊗是张量积运算的符号）。

通常，我们可以通过以下两个步骤对任何两个矩阵进行张量积：
1. 将第一个矩阵中的每个元素乘以第二个矩阵；
2. 根据第一个矩阵中元素的原始位置，合并乘出来的矩阵。
上图是一个如何处理二维矩阵的示例

我们还可以将狄拉克表示中的多个量子比特表示为|0〉⊗|1〉。作为简写，我们可以省略⊗，仅写|0〉|1〉；更简略些，写成|01〉。

了解量子门
现在让我们了解一下量子门。
量子门是一个幺正矩阵。
为什么是幺正矩阵？
首先，量子门将由物理设备实现，因此它们必须遵守量子物理定律。物理学的定律表明：信息在过去和未来的点转换时，不会丢失，这被称为幺正性（unitarity）。由于我们的量子门定义了状态的转变，因此它们也必须遵守幺正性。
其次，请注意，量子门是作用在量子比特上的。之前提到，量子比特实际上只是矢量，因此这意味着量子门必须以某种方式对矢量起作用。幸运的是，我们记得矩阵实际上是向量的线性变换！
结合这两种思想，我们将量子门视为幺正矩阵。幺正矩阵是复数的任何方阵，它的共轭转置等于它的逆。作为快速变换，可以通过取矩阵中每个元素的共轭（a + bi → a - bi），然后取矩阵的转置（元素ij→元素ji），可以找到矩阵的共轭转置。我们通常用“†”表示共轭转置。

关于幺正矩阵的一个重要性质是范数（即向量的长度）不变性。否则，一个量子比特被量子门处理过后，其概率和不为1！这没有任何意义，因为所有概率的总和必须始终等于1。
还应注意，根据定义，幺正矩阵有逆。这意味着我们不能将量子比特“分配”到任意状态。为了理解，我们假设有一个可以“分配”值的量子门，因此，可以将含有两个复数的任何矢量转换为含有两个复数的特定矢量。作为幺正矩阵，这个量子门具有的一些特定的表示，且该矩阵具有能够将特定矢量转换回操作前状态的逆矩阵！但是，在测量之前，量子比特可能处于任何状态，并且无法知道是哪个！因此，我们不能将量子比特“分配”到任意状态。在更高的层次上，所有量子门都是可逆的，这就是为什么我们经常将量子计算视为可逆计算的一种形式。

H和CNOT量子门
现在我们已经对我们将要做的事情有了一点了解了，现在以Hadamard门为例，矩阵H：