所谓鞅是指这样的一类随机过程x(t), 其t时刻对的条件期望等于t之前最后一个时刻的观测值x(s) (s<t)，即<x(t)|X(0:s)>=x(s).
鞅论和热力学联系的核心在于可以证明exp[-Σ(t)]这个量是一个指数鞅, 其中Σ(t)是t时刻系统的总熵产生(我们令玻尔兹曼常数k_B=1). 有了这一条件之后可以证明一系列有意思的定理. 如在20年的一篇PRL中，作者使用Doob’s optional stopping theorem 证明了一个“停时积分涨落定理”：<exp[-Σ(t=T)]> = 1.
这里T是所谓的“停时 stopping time”，就是一个随机过程满足某个条件时经过的时间，是一个随机变量. 停时是非常一般性的一个概念，唯一的限制是这个随机的时间不受未来影响，即停时T发生的条件与T之后发生的事儿无关. 比如首通时间就是停时的一个例子：一个布朗粒子首次达到某个吸收边界的时间. 当然也可以是把一个DNA分子用光镊拉长到一定长度时所需要的时间(由于涨落的影响，这个时间也是随机的). 当T是一个固定时刻的时候，上式退回原始的积分涨落定理(对定态成立).
另外值得一提的是，这个optional stopping theorem 也是很有意思的，它大意是说对于一个鞅过程，停时发生时该过程的期望值等于其初始时刻的值：<x(t=T)>=x(t=0). 这个定理最初是应用于睹伯(gambling)的: 对于一个公平的game，平均而言参与者永远不可能获利. 因为根据这个定理无论他选择在什么时候退出，退出时刻他财富的期望值都和他的最初的财富相等，不论他采用如何精妙的停止策略都是一样. 当然，如果他能玩无限长的时间、或者有无限的财富的话，这个定理的条件就不满足了，此时他可以获益.
鞅论和热力学联系的核心在于可以证明exp[-Σ(t)]这个量是一个指数鞅, 其中Σ(t)是t时刻系统的总熵产生(我们令玻尔兹曼常数k_B=1). 有了这一条件之后可以证明一系列有意思的定理. 如在20年的一篇PRL中，作者使用Doob’s optional stopping theorem 证明了一个“停时积分涨落定理”：<exp[-Σ(t=T)]> = 1.
这里T是所谓的“停时 stopping time”，就是一个随机过程满足某个条件时经过的时间，是一个随机变量. 停时是非常一般性的一个概念，唯一的限制是这个随机的时间不受未来影响，即停时T发生的条件与T之后发生的事儿无关. 比如首通时间就是停时的一个例子：一个布朗粒子首次达到某个吸收边界的时间. 当然也可以是把一个DNA分子用光镊拉长到一定长度时所需要的时间(由于涨落的影响，这个时间也是随机的). 当T是一个固定时刻的时候，上式退回原始的积分涨落定理(对定态成立).
另外值得一提的是，这个optional stopping theorem 也是很有意思的，它大意是说对于一个鞅过程，停时发生时该过程的期望值等于其初始时刻的值：<x(t=T)>=x(t=0). 这个定理最初是应用于睹伯(gambling)的: 对于一个公平的game，平均而言参与者永远不可能获利. 因为根据这个定理无论他选择在什么时候退出，退出时刻他财富的期望值都和他的最初的财富相等，不论他采用如何精妙的停止策略都是一样. 当然，如果他能玩无限长的时间、或者有无限的财富的话，这个定理的条件就不满足了，此时他可以获益.
